Für zwei reelle Zahlen a und b defnieren wir die Abbildung fa,b : R → R, x 7→ ax + b.
(i) Zeigen Sie, dass die Verkettung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung auf der Menge Agg(R) := {fa,b | a, b ∈ R} defniert.
(ii) Finden Sie ein neutrales Element e ∈ Agg(R) bezüglich der Verkettung von Abbildungen.
(iii)Ist das Tripel aus dem dritten Aufgabenteil, welches eine Gruppe ist, sogar eine abelsche Gruppe?
+3976 Was hat denn die "7" in der Angabe zu bedeuten?
(i) funktioniert genauso wie hier: https://web2.0rechner.de/fragen/sei-x-eine-menge-zeigen-sie
Verkettung ist bei allen Abbildungen assoziativ, daher auch als Verknüpfung auf einer Menge von speziellen Abbildungen.
(ii) das neutrale Element könnte man hier durchaus erraten, nämlich die Identität. Das wäre hier wohl die Abbildung f1,0, die in Agg(R) enthalten ist.
(iii) abelsch ist die Gruppe leider nicht: Beispielsweise ist \((f_{1,1} \circ f_{2,2} )(x) = f_{1,1} (2x+2) = 2x+2+1 = 2x+3 \\ (f_{2,2} \circ f_{1,1} )(x) = f_{2,2} (x+1) = 2(x+1)+2 = 2x+4 \\\), also offenbar nicht gleich.
