Extremwerte

 Extremwerte und Lösungsschritte zu dieser Funktion:

y =  2x^3 / (3x^2 - x - 1)

Hallo Gast!

Die Funktion hat 2 Extrema und einen Horizontalwende-(Sattel-)punkt.

Die Extrema und der Sattelpunkt sind bei den Nullstellen der 1. Ableitung.

                   u

\(y=\dfrac{2x^3}{3x^2-x-1} \)

                   v

\(\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=0\)    

\(u'=6x^2\\ v'=6x-1\)

Die Nullstellen des Zählers sind identisch mit den Nullstellen des ganzen Bruches.

\(Z\ddot ahler(u'v-uv')=6x^2(3x^2-x-1)-2x^3(6x-1)=0\\ 18x^4-6x^3-6x^2-12x^4+2x^3=0\\ 6x^4-4x^3-6x^2=0\\ x^2(6x^2-4x-6)=0\\ \color{blue}x_{1,2}=0\ Sattelpunkt\)

\(x^2-\frac{2}{3}x-1=0\\ x=\frac{1}{3}\pm\sqrt{\frac{1}{9}+1}\\ \color{blue}x_3=-0,72076\ Maximum\\ \color{blue}x_4=1,38743\ Minimum\)

  !

asinus

Also, ich mach mich auch mal 'ran. Erstmal wird abgeleitet, und zwar mit der Quotientenregel:

\(f(x) = \frac{2x^3}{3x^2-x-1} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{(3x^2-x-1)\cdot 6x^2 - 2x^3\cdot (6x-1)}{(3x^2-x-1)^2} = \\ \frac{18x^4-6x^3-6x^2-12x^4+2x^3}{(3x^2-x-1)^2} = \\ \frac{6x^4-4x^3-6x^2}{(3x^2-x-1)^2}\)

Dann suchen wir die Nullstellen der Ableitung. Dafür reicht es, die Nullstellen des Zählers zu bestimmen.

6x⁴-4x³-6x² = 0

x²*(6x²-4x-6) = 0

-> x_1/2 = 0

Die anderen Nullstellen finden wir per Mitternachtsformel:

\(x_{3/4} = \frac{4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 6 \cdot (-6)}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{12} \\ \Rightarrow x_3 \approx -0,72; \ \ \ x_4 \approx 1,39\)

Das sind unsere potentiellen Extremstellen. Wir finden die Art dieser Stellen heraus, indem wir die Vorzeichentabelle der Ableitung bilden:

Wir sehen: Bei -0,72 und 1,39 gibt es einen Vorzeichenwechsel, bei 0 nicht. Bei 0 ist daher ein Terassenpunkt.

Bei -0,72 steigt die Funktion zunächst, danach fällt sie. Daher ist dort ein Hochpunkt.

Bei 1,39 fällt die Funktion zuerst, dann steigt sie. Daher ist dort ein Tiefpunkt.

Wir finden noch die y-Werte, indem wir die x-Werte in die Funktion einsetzen:

f(-0,72) = 0,59; f(0) = 0; f(1,39) = -1,58

Das liefert die Punkte

Hochpunkt H(-0,72|0,59)

Terassenpunkt (auch Sattelpunkt) S(0|0)

Tiefpunkt T(1,39|-1,58)