Guten Tag, ich bräuchte einmal die Extremwerte und Lösungsschritte zu dieser Funktion
y= 2x3
3x2-x-1
Also 2x3 : 3x2 - x-1
Danke :-)
Extremwerte und Lösungsschritte zu dieser Funktion:
y = 2x^3 / (3x^2 - x - 1)
Hallo Gast!
Die Funktion hat 2 Extrema und einen Horizontalwende-(Sattel-)punkt.
Die Extrema und der Sattelpunkt sind bei den Nullstellen der 1. Ableitung.
u
y=2x33x2−x−1
v
dydx=u′v−uv′v2=0
u′=6x2v′=6x−1
Die Nullstellen des Zählers sind identisch mit den Nullstellen des ganzen Bruches.
Z¨ahler(u′v−uv′)=6x2(3x2−x−1)−2x3(6x−1)=018x4−6x3−6x2−12x4+2x3=06x4−4x3−6x2=0x2(6x2−4x−6)=0x1,2=0 Sattelpunkt
x2−23x−1=0x=13±√19+1x3=−0,72076 Maximumx4=1,38743 Minimum
!
asinus
Also, ich mach mich auch mal 'ran. Erstmal wird abgeleitet, und zwar mit der Quotientenregel:
f(x)=2x33x2−x−1⇒f′(x)=(3x2−x−1)⋅6x2−2x3⋅(6x−1)(3x2−x−1)2=18x4−6x3−6x2−12x4+2x3(3x2−x−1)2=6x4−4x3−6x2(3x2−x−1)2
Dann suchen wir die Nullstellen der Ableitung. Dafür reicht es, die Nullstellen des Zählers zu bestimmen.
6x4-4x3-6x2 = 0
x2*(6x2-4x-6) = 0
-> x1/2 = 0
Die anderen Nullstellen finden wir per Mitternachtsformel:
x3/4=4±√42−4⋅6⋅(−6)2⋅6=4±√16012⇒x3≈−0,72; x4≈1,39
Das sind unsere potentiellen Extremstellen. Wir finden die Art dieser Stellen heraus, indem wir die Vorzeichentabelle der Ableitung bilden:
x | x<-0,72 | x=-0,72 | -0,72 | x=0 | 0 | x=1,39 | 1,39 |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + |
Wir sehen: Bei -0,72 und 1,39 gibt es einen Vorzeichenwechsel, bei 0 nicht. Bei 0 ist daher ein Terassenpunkt.
Bei -0,72 steigt die Funktion zunächst, danach fällt sie. Daher ist dort ein Hochpunkt.
Bei 1,39 fällt die Funktion zuerst, dann steigt sie. Daher ist dort ein Tiefpunkt.
Wir finden noch die y-Werte, indem wir die x-Werte in die Funktion einsetzen:
f(-0,72) = 0,59; f(0) = 0; f(1,39) = -1,58
Das liefert die Punkte
Hochpunkt H(-0,72|0,59)
Terassenpunkt (auch Sattelpunkt) S(0|0)
Tiefpunkt T(1,39|-1,58)