Einer Kugel mit dem Radius R soll ein Zylinder mit größtem Oberflächeninhalt eingeschrieben werden. Berechne den Radius r und die Höhe des Zylinders!
+12530 
+15001
Trigonometrische Lösung
x sei der Winkel des Radiusvektors im Einheitskreis
r = cos x
h/2 = sin x
O/2 = pi * r² + 2 * pi * r * h/2
O/2 = pi * cos² x + 2 * pi * cos x * sin x
O / (2 * pi) = cos² x + 2 * cos x * sin x [ 2*cosx*sinx = sin(2x)
f(x) = cos² x + sin (2x)
df(x)/dx = f'(x) = 2 * cos x * (-sin x) + 2 * cos (2x) [ 2 * cosx * (-sinx) = - sin(2x)
f'(x)= - sin (2x) + 2 * cos (2x) = 0
2 * cos (2x) = sin (2x) [ sin(2x) = ±√(1 - cos²(2x))
2 * cos (2x) = ±√(1 - cos² (2x))
4 * cos² (2x) = 1 - cos² (2x)
5 * cos² (2x) = 1
cos² (2x) = 0,2
cos (2x) = ±√0,2 = ± 0,44721
2 * x(1) = 63,4349°
x(1) = 31,7175°
2 * x(2) = 116.565
x(2) = 58.2824°
In der Kugel mit Radius R
r(1) = R * cos x(1)
r(1) = R * 0,8506
h(1) = R * 2 * sin x(1)
h(1) = R * 1,05146
r(2) = R * cos x(2)
r(2) = R * 0,8506
h(2) = R * 2 * sin x(2)
h(2) = R * 1,7013
Es gibt in der Kugel zwei einbeschriebene Zylinder mit gleicher Oberflächengröße, die zudem die größte Oberfläche aller einbeschriebenen Zylinder haben.
