Leider kann ich kein Foto reinschicken, da dort eine Abbildung ist, aber ich schreibe die Aufgabenstellung ab: "In der nebenstehenden Abbild schließen das zur y-Achse symmetrisches Schaubild Kg der Funktion g und die x-Achse eine Fläche ein. In diese wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben. Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann."
Außerdem sollte man wissen, dass es eine trigonometrische Kurve unterhalbe der x-Achse ist. Es wäre sehr nett, wenn ihr das so einfach wie möglich erklärt, weil ich komplizierte Erklärungen nicht verstehe. Vielen Dank!
+14901 Schaubild Kg:
Die Kurve der zur y-Achse symmetrischen Funktion g(x) und die x-Achse schließen eine Fläche ein.
In diese ist ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben.
Es handelt sich um die Kurve einer trigonometrischen Funktion unterhalb der x-Achse.
Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann. So die Aufgabe.
Hallo Gast!
Eine einfache trigonometrische Funktion, deren Kurve unterhalb der x-Achse verläuft und die symmetrisch zur y-Achse ist, ist z.B. diese Funktion:
\(g(x)=sin(x+\pi /2)\)
Die Seiten des einbeschriebenen Rechtecks wären:
Horizontal: Der Abschnitt der x-Achse zwischen +x und -x,
vertikal der Funktionswert der Funktion g(x).
Der Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks ist dann
\(A(x)= 2x\cdot g(x)\)
Für unser Beispiel gilt also:
A = a x b
\(A(x)= 2x\ \cdot \ g(x)\)
\(A(x)={ \color{blue} 2x}\cdot \color{green} sin(x+\pi /2)\)
Das ist die Funktion für den Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks.
Wie wir wissen, hat die größte Fläche der einbeschriebenen Rechtecke Quadratform.
Dann ist Basis = Höhe.
\({ \color{blue} 2x}=\color{green} sin(x+\pi /2)\) Das ist die Zielfunktion!?
Mit Hilfe von arndt-brünner
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
ergibt sich die Lösung der Zielfunktion:
Das einbeschriebene Rechteck größter Fläche
ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 0,45018361129487355.
Es ginge auch mit Ermittlung der Nullstellen der Ableitung der Funktion
\(A(x)={ \color{blue} 2x}\cdot \color{green} sin(x+\pi /2)\)
Das erschien mir aber zu kompliziert. Deshalb die obige Lösung.
!
