Extremwertaufgabe Dose : 850ml Inhalt kleinstmögliche Oberfläche

Hallo Anonymous,

da es viel zu schreiben gibt, kürze ich etwas ab. Wenn du etwas nicht verstehst, bitte nachfragen.

gegeben:  V = 850 cm³ (ml)    gesucht : minimale Oberfläche  (Zylinder = Dose )

V=pi*r²*h     ->   h = V / (pi*r²)

O =2*pi*(V/(pi*r)+r²))  

       $${\mathtt{O}} = {\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{r}}\right)}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}\right)$$

$${\mathtt{O}} = {\frac{{\mathtt{V}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{2}}}{{\mathtt{r}}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}$$    ->   1.  Ableitung :   O' =4*pi*r -2*V/r²

= Null setzen und nach r umformen:    ->   $${\mathtt{r}} = {\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}}}}$$   = 5,1335  cm

h= V/(pi*r²)     ->    h= 2*r  =  10.267  cm

Deine Dose hat einen Radius von  5,13 cm  und eine Höhe von  10,27 cm .

Gruß radix !   ( der  ein kurzes Danke verdient hätte  !!)

Letzter Schritt Erklärung?

Hallo radix,

woher kommt h = 2r ?

Weil bekannt ist, dass der Zylinder mit dem kleinsten O / V der "quadratische" ist ?

Gruß asinus :- )

Hallo asinus,

ich habe      $${\mathtt{r}} = {\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}}}}$$

in     $${\mathtt{h}} = {\frac{{\mathtt{V}}}{\left({{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}}$$      eingesetzt   und so lange gerechnet, bis ich  h=2*r  hatte.

Die Rechnerei kann ich hier nicht aufschreiben, aber wie ich dich kenne, schaffst du das auch.

Für die Berechnung von h geht es aber auch  mit der  h - Formel ( siehe oben !)

Gruß radix !

Hallo asinus und Anonymous, hier ein Versuch der Umrechnung  ->  h=2*r

$${\mathtt{r}} = {\left({\frac{{\mathtt{V}}}{{\mathtt{2}}}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}^{\left({\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{3}}}}\right)}$$    substituiert  ->   r = a ^(1/3)    (V/2*pi) =a

$${\mathtt{h}} = {\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{r}}}^{{\mathtt{2}}}\right)}}$$     ->    $${\mathtt{h}} = {\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{a}}}^{\left({\frac{{\mathtt{2}}}{{\mathtt{3}}}}\right)}\right)}}$$        mit  a ^(1/3)  erweitern

$${\mathtt{h}} = {\frac{{\mathtt{V}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{a}}}^{\left({\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{3}}}}\right)}}{\left({\mathtt{\pi}}{\mathtt{\,\times\,}}\left({\frac{{\mathtt{V}}}{\left({\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{\pi}}\right)}}\right)\right)}}$$        kürzen  ->    h=2*a^(1/3) = 2*r

Ich hoffe, dass ihr meine Schritte nachvollziehen könnt.

Gruß radix ! ( der sich über ein  ok  freuen würde.)

Hallo radix,

da hast du dich aber reingekniet. Der Zweck war offenbar sichtbar zu machen, dass bei dem Minimumverhältnis Oberfläche zu Volumen der Dose Durchmesser und Höhe gleich groß sind (der Längsschnitt ein Quadrat ist), was an den Ergebniszahlen nicht so sicher erkennbar wäre.

Danke !

Gruß asinus :- )

kürze ich etwas ab. Wenn du etwas nicht verstehst,

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kaleem