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Ne Knalleraufgabe haha

Zeigen Sie über die Differenz der Funktionswerte f(x1) und f(x2) mit x1,x2∈R und x2>x1, dass (8∣256) das Extremum von f(x)=−4(x−8)2+256 mit x∈R ist, und bestimmen Sie dessen Art.

 14.10.2021
 #3
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Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, die in Scheitelform angegeben ist. Daher kann der Scheitel S(8|256) eigentlich direkt abgelesen werden & auch 9.-Klässler könnten sagen, dass das der Hochpunkt sein muss. Wir können's aber natürlich auch über die gewünschten Differenzen regeln:

Dafür sei zunächst x1=8. Dann ist x2>8 beliebig. Wir betrachten die Differenz f(x2)-f(x1):

f(x2)-f(x1) = 

f(x2)-f(8) =

-4*(x2-8)2+256 - (-4*(8-8)2+256) =

-4*(x2-8)2+256 - 256 = 

-4*(x2-8)2 < 0.

Wir stellen also fest: Die Differenz dieser Funktionswerte ist stets negativ, d.h. nach x=8 erreicht die Funktion keinen größeren Wert mehr als f(8)=256.

 

Jetzt andersrum: Sei x2=8. Dann ist x1<8 beliebig. Wir betrachten die gleiche Differenz f(x2)-f(x1):

f(x2)-f(x1) = 

f(8) - f(x1) = 

-4*(8-8)2+256 - ( -4*(x1-8)2+256) =

256 + 4*(x1-8)2-256 = 

4*(x1-8)2 >0

Wir stellen fest: Diese Differenz ist immer positiv. Das bedeutet: f(8) ist größer als jeder Wert links von x=8. Daher ist f(8) der größte Wert, den die Funktion erreicht. Der Punkt (8|256) ist also ein Hochpunkt.

 14.10.2021

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