Extrempunkte

Wie berechne ich f(x)=x³-tx²-t²x
zuerst bilde ich die erste Ableitung: f'(x)= 3x-2tx-? wie mache ich das? 

$\begin{array}{rcl} f(x) =y &=&x^3-tx^2-t^2x\\\\ &&\boxed{~ \begin{array}{rcl} y&=& x^n \qquad y'= n\cdot x^{n-1} \\\\ y &=& x^1 \qquad y'= 1\cdot x^{1-1} = 1\cdot x^0 = 1\cdot 1 = 1 \\ y &=& x^2 \qquad y'= 2\cdot x^{2-1} = 2\cdot x^1 = 2\cdot x \\ y &=& x^3 \qquad y'= 3\cdot x^{3-1} = 3\cdot x^2 \\ \end{array} ~}\\\\ y' &=&3x^2-2tx-t^2\\ \end{array}$

Die Extrempunkte haben eine waagerechte Tangente, das heißt y', die Steigung ist 0.

Wir setzen also y' = 0:

$\begin{array}{rcl} y' =3x^2-2tx-t^2 &=& 0\\ 3x^2-2tx-t^2 &=& 0\\ \boxed{~ \begin{array}{rcl} ax^2+bx+c &=& 0\\ x &=& {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \end{array} ~}\\ x &=& {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \qquad | \qquad a = 3 \quad b = -2t \quad c = -t^2\\ x &=& {2t \pm \sqrt{(-2t)^2-4\cdot3 \cdot (-t^2) } \over 2\cdot3 } \\ x &=& {2t \pm \sqrt{4t^2+12t^2 } \over 6 } \\ x &=& {2t \pm \sqrt{16t^2 } \over 6 } \\ x &=& {2t \pm 4t \over 6 } \\ x_1 &=& {2t + 4t \over 6 }\\ x_1 &=& {6t \over 6 }\\ x_1 &=& t\\\\ x_2 &=& {2t - 4t \over 6 }\\ x_2 &=& {-2t \over 6 }\\ x_2 &=& -\frac13 t \end{array}$

Die y-Werte der beiden Extrempunkte erhalten wir, wenn wir $x_1$ und $x_2$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:

$\begin{array}{rcl} y_1 &=&x_1^3-tx_1^2-t^2x_1 \qquad | \qquad x_1 = t\\ y_1 &=&t^3-tt^2-t^2t \\ y_1 &=& t^3-t^3-t^3\\ y_1 &=& -t^3\\\\ y_2 &=&x_2^3-tx_2^2-t^2x_2 \qquad | \qquad x_2 = -\frac13 t\\ y_2 &=&(-\frac13 t)^3-t(-\frac13 t)^2-t^2(-\frac13 t) \\ y_2 &=&-\frac{1}{27} t^3- \frac{1}{9} t^3 + \frac13 t^3 \\ y_2 &=& t^3 ( -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac13 ) \\ y_2 &=& t^3 ( \frac{-1}{27} - \frac{1}{9}\cdot \frac33 + \frac13\cdot \frac99 ) \\ y_2 &=& t^3 ( \frac{-1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} ) \\ y_2 &=& t^3 ( \frac{-1-3+9}{27} ) \\ y_2 &=& t^3 ( \frac{5}{27} ) \\ y_2 &=& \frac{5}{27} t^3 \\ \end{array}$