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avatar+9785 

Gegeben seien die Beobachtungsdaten einer Bakterienkultur 3 bzw. 5 Stunden nach Versuchsbeginn mit B(3) = 378 und B(5) = 689. Das Wachstum der Bakterienkultur kann entweder als prozentualer Zuwachs oder als e-Funktion dargestellt werden. Es gilt entweder \(B(t)=B_0\cdot q^t\) oder \(B(t)=B_0\cdot e^{kt}\).

Bestimme für beide Funktionen \(B_0,q \)  und  \(k\).

 11.07.2020
 #1
avatar+478 
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Auch ein Klassiker - für die Aufgabe bezeichnet t die Zeit in Studen. 

Die beiden gegebenen Funktionswerte liefern uns ein Gleichungssystem:

 

\(I : \ \ \ B_0 \cdot q^3 = 378 \\ II: \ B_0 \cdot q^5 = 689\)

 

Es ist hier klar, dass in jeder Gleichung beide Gleichungsseiten ungleich 0 sind. Daher kann ich die Gleichungen hier auch durcheinander Teilen, nämlich II:I - das sieht dann so aus:

 

\(\frac{B_0 \cdot q^5}{B_0 \cdot q^3} = \frac{689}{378} \ \ \ |kürzen \\ q^2 = \frac{689}{378} \ \ \ | \sqrt{.} \\ q = \sqrt{\frac{689}{378}} \approx 1,35 \)

 

Diesen Wert können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um B0 zu bestimmen:

\(B_0 \cdot 1,35^3 = 378 \ \ \ |:1,35^3 \\ B_0 = \frac{378}{1,35^3} \approx 154\)

 

Damit ist die Funktion B bestimmt durch B(t) = 154 * 1,35t .

 

Für die zweite Variante nutze ich ein Potenzgesetz:

 

\(B(t) = 154 \cdot 1,35^t = 154 \cdot (e^{ln(1,35)})^t = 154 \cdot e^{ln(1,35) \cdot t}\)

 

Damit sind die Parameter vollständig bestimmt: B0 = 154, q = 1,35 ; k = ln(1,35).

 12.07.2020

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