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Das Sparschwein wurde geleert !

Auf dem Tisch liegen  1-€- Münzen.   5 Personen dürfen sich nacheinander nach folgender Regel bedienen :

Nimm die Hälfte der Münzen und noch  2 Münzen dazu.

Die letzten 2 Münzen kommen zurück in das Sparschwein.

Wie viele Münzen bekommen die einzelnen Personen ?

 

Gruß radix smiley !     Ich wünsche viel Erfolg beim "Knobeln" .

radix  26.05.2016
 #1
avatar+20168 
0

Das Sparschwein wurde geleert !

Auf dem Tisch liegen  1-€- Münzen.   5 Personen dürfen sich nacheinander nach folgender Regel bedienen :

Nimm die Hälfte der Münzen und noch  2 Münzen dazu.

Die letzten 2 Münzen kommen zurück in das Sparschwein.

Wie viele Münzen bekommen die einzelnen Personen ?

 

x = 1 € Münzen am Anfang im Sparschwein

P = Person

R = Rest

 

\(\begin{array}{rclrcl} \hline \text{Person} &&& \text{Rest} \\ \hline P_1 &=& \frac{x}{2}+2 & R_1 &=& x - P_1 \\ && & &=& x-(\frac{x}{2}+2) \\ && & \mathbf{R_1} &\mathbf{=}& \mathbf{\frac{x}{2}-2} \\\\ P_2 &=& \frac{R_1}{2}+2 & R_2 &=& R_1 - P_2 \\ && & &=& R_1-(\frac{R_1}{2}+2) \\ && & \mathbf{R_2} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{R_1}{2}-2} \\ && & &=& \frac{ \frac{x}{2}-2 } {2} -2 \\ && & &=& \frac{x}{4}-3 \\\\ P_3 &=& \frac{R_2}{2}+2 & R_3 &=& R_2 - P_3 \\ && & &=& R_2-(\frac{R_2}{2}+2) \\ && & \mathbf{R_3} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{R_2}{2}-2} \\ && & &=& \frac{ \frac{x}{4}-3 } {2} -2 \\ && & &=& \frac{x}{8}-\frac32 -2 \\ && & &=& \frac{x}{8}-\frac72 \\\\ P_4 &=& \frac{R_3}{2}+2 & R_4 &=& R_3 - P_4 \\ && & &=& R_3-(\frac{R_3}{2}+2) \\ && & \mathbf{R_4} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{R_3}{2}-2} \\ && & &=& \frac{ \frac{x}{8}-\frac72 } {2} -2 \\ && & &=& \frac{x}{16}-\frac78 -2 \\ && & &=& \frac{x}{16}-\frac{15}{4} \\\\ P_5 &=& \frac{R_4}{2}+2 & R_5 &=& R_4 - P_5 \\ && & &=& R_4-(\frac{R_4}{2}+2) \\ && & \mathbf{R_5} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{R_4}{2}-2} \\ && & &=& \frac{\frac{x}{16}-\frac{15}{4} } {2} -2 \\ && & &=& \frac{x}{32}-\frac{15}{8} -2 \\\\ \hline \\ R_5 &=& 2 \\ \frac{x}{32}-\frac{15}{8} -2&=& 2 \\ \frac{x}{32}-\frac{15}{8} &=& 4 \qquad | \qquad \cdot 32 \\ x - 4\cdot 15 &=& 4 \cdot 32 \\ x &=& 60 + 128 \\ \mathbf{x} &\mathbf{=}& \mathbf{188} \\ \hline \end{array}\)

 

\(\begin{array}{llllrr} \hline \text{Person} &&&&& \text{Rest} \\ \hline P_1 &=& \frac{188}{2}+2 &=& 96 & 92 \\ P_2 &=& \frac{92}{2}+2 &=& 48 & 44 \\ P_3 &=& \frac{44}{2}+2 &=& 24 & 20 \\ P_4 &=& \frac{20}{2}+2 &=& 12 & 8 \\ P_5 &=& \frac{8}{2}+2 &=& 6 & 2 \\ \hline \end{array} \)

 


laugh

heureka  26.05.2016
 #2
avatar+14536 
0

Guten Tag heureka  !

 

Du hast - wie immer - die Aufgabe perfekt und richtig gelöst. DANKE  !

Mit einer so schnellen Lösung habe ich allerdings nicht gerechnet.

Es gibt aber noch eine  andere einfachere Lösungsmöglichkeit.

 

Gruß radix smiley !

radix  26.05.2016
 #3
avatar+7541 
0

Hallo radix, hallo heureka!

 

Auf dem Tisch liegen  1-€- Münzen.   5 Personen dürfen sich nacheinander nach folgender Regel bedienen :

Nimm die Hälfte der Münzen und noch  2 Münzen dazu.

Die letzten 2 Münzen kommen zurück in das Sparschwein.

Wie viele Münzen bekommen die einzelnen Personen ?

 

Bei der Aufgabe "Kokosnüsse verteilen", hat uns radix die einfachere Möglichkeit zur Lösung von Aufgaben dieser Art dargestellt:

"Rückwärts mit Gegenoperatoren berechnen."

 

               Ende                                             Anfang

Rest          2€        8        20       44      92      188€          

Anteil               6       12       24       48       96             

Person             5        4         3         2         1

 

Von links nach rechts.

 

 Anteil = Rest + 2 * 2€              Rest = Rest + Anteil

 

Ich kann nicht vollständig nachvollziehen, warum das so ist.

Das es richtig ist, hat heureka oben bewiesen.

Sicher wird radix noch etwas dazu anmerken.

 

Gruß und gute Nacht!

asinus :- )

laugh  !

asinus  26.05.2016
 #4
avatar+14536 
0

Hallo  asinus !

 

Hier also noch eine kurze Erläuterung zum  " warum ".

Der Begriff Gegenoperator scheint bekannt zu sein:     

\(188 : 2 => 94\)             \(94 *2=>188\)          188  =>   94    und     94  => 108

                                                                                        : 2                            * 2

 

 x    =>      =>       =>       =>        usw      =>       =>    2      ( zurück ins Sparschwein )

      : 2      - 2       : 2       - 2                    : 2       - 2

 

Nun sollte auch  " die Rolle rückwärts ° , also die Gegenoperatorrechnug verständlich sein:

 

2   =>  =>  8   =>  10   => 20 => 22 => 44  => 46  => 92  => 94  => 188    

    + 2     * 2       + 2        * 2      + 2     * 2       + 2      * 2        +2       *2

 

Es waren  188 Münzen vorhanden,  A bekommt  94+2 , B bekommt 46+2 , C bekommt  22+2 usw,

 

Ich hoffe, dass nun alle Unklarheiten beseitigt sind und wünsche noch eine gute Nacht .

Gruß radix smiley !

radix  27.05.2016
 #5
avatar+7541 
0

Guten Morgen radix,

nun ist es auch mir klar, danke ! asinus :- ) laugh !

asinus  27.05.2016

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