Es seien f, g : R → R. Beweisen oder widerlegen (mit einem Gegenbeispiel) Sie, dass Folgendes gilt:

Erstmal: Eine Funktion ist beschränkt, wenn es eine Zahl G gibt mit f(x)<=G für alle x (von oben beschränkt) und eine Zahl g mit f(x)>g für alle x (von unten beschränkt).

(ii): 

Sei G_f die obere Schranke für f, G_g die obere Schranke für g, g_f die untere Schranke für f und g_g die untere Schranke für g. Es ist nach der Beschränktheits-Definition für alle x folgendes wahr: f(x) ist in I_f=[g_f ; G_f] enthalten und g(x) ist in I_g=[g_g ; G_g] enthalten. Zu zeigen ist, dass auch für fg(x)=f(x)*g(x) ein beschränktes Intervall (also mit zwei reellen Grenzen) existiert, in dem die Werte fg(x) für alle x enthalten sind. fg(x) ist stets ein Produkt von zwei Zahlen jeweils aus I_f und I_g. Die größte Zahl, die wir so finden können, ist das Maximum der Menge M={g_fg_g ; G_fg_g ; g_fG_g ; G_fG_g}. Sie ist als obere Schranke geeignet, also G_fg=max(M). Die kleinste Zahl ist das Minimum dieser Menge, also g_fg=min(M). Somit wissen wir: Für alle x ist fg(x) in [g_fg ; G_fg] enthalten. Also ist auch fg beschränkt.

(i) kannst du genauso machen, hier geht's aber theoretisch auch ein bisschen einfacher, weil man nicht so auf die Vorzeichen aufpassen muss. Also entweder das gleiche wie oben, oder obere und untere Beschränktheit getrennt:

Obere Beschränktheit: f(x) <= F für alle x, g(x) <= G für alle x, daher ist (f+g)(x)=f(x)+g(x) <=F+G, also ist F+G obere Schranke für f+g.

Untere Beschränktheit genauso.

 

(iii) funktioniert ähnlich wie (i). Eine Funktion ist monoton wachsend, wenn für y>x gilt f(y)>f(x). Wenn das für zwei Funktionen f & g funktioniert, ist für y>x auch (f+g)(y)=f(y)+g(y) > f(x)+g(x) =(f+g)(x). Also ist auch f+g monoton steigend.

(iv) ist die einzige falsche Aussage. Versuch' mal, ein Gegenbeispiel zu konstruieren - halt' dich dabei möglichst an sehr einfache Funktionen.

 

Wenn dir zu (iv) nichts einfällt oder was anderes an meiner Antwort unklar ist frag' gern nochmal nach! :)