+30 Hallo zusammen, ich stehe grade echt komplett auf dem Schlauch und vielleicht schafft es jemand diese Aufgabe zu lösen, ist echt schwer. Hoffe mr kann jemand helfen! :D
+3976 Klar - wir machen's genau wie bei der letzten Punkteaufgabe!
Erstmal durchnummerieren - das erste sei a0. Man erkennt: Es sind immer drei Dreiecke nebeneinander, die jeweils in der Seitenlänge um 1 wachsen. Dabei ist das erste stets 1 größer als das zweite und das zweite 1 größer als das dritte. Ich hab die Aufteilung und Nummerierung auch gleich im Bild, dann sieht man genau was gemeint ist:
Wir betrachten nun wieder den Zuwachs in jeder "Entwicklungsstufe", um die rekursive Formel zu konstruieren. Ich hab's beim größten Dreieck mal in grün markiert - das Dreieck wächst immer um eine Seite, die jeweils n+2 lang ist. Da das mittlere Dreieck eine Stufe "hinterherhinkt" und das rechte gleich zwei, ist der Zuwachs beim mittleren dann n+1 groß und beim rechten nur n.
Der Gesamt-Zuwachs ist die Summe der drei einzelnen, also n+2+n+1+n=3n+3. Daraus ergibt sich folgende rekursive Formel:
a0 = 4, an=an-1 +3n+3.
(Ich muss da übrigens auch jedes Mal überlegen, ob jetzt an und an-1 in die Rekursionsformel müssen oder an+1 und an - man findets leicht durch ausprobieren mit n=1 und n=2 heraus.)
Wie letztes mal werden für die explizite Formel für an alle Zuwächse aufsummiert:
\(a_n = 4 + \sum_{k=1}^n (3k+3) = \\ 4+ \sum_{k=1}^n 3k + \sum_{k=1}^n 3 = \\ 4 + 3 \cdot \sum_{k=1}^n k +3n =^* \\ 4 + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} +3n = \\ 4 + 1,5n^2+1,5n+3n = \\ 1,5n^2+4,5n+4\)
Also können wir direkt sagen:
an = 1,5n²+4,5n+4
(Funktioniert dann auch für n=0 übrigens - das tut die rekursive Formel nicht, der mussten wir ein Anfangsglied vorgeben. Das ist aber auch klar - sie versucht ja immer auf ein vorheriges zuzugreifen, ohne ein Startglied würde sie quasi "ins Leere greifen".)
