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Eine GRF 3. Grades hat einen Hochpunkt H(-1|8). Bei x=1 hat sie die Gerade mit der Funktionsgleichng g(x)=-4x+4 als Tangente. Bestimmen Sie f(x). Ich finde die 4. Bedingung nicht.

 23.02.2015

Beste Antwort 

 #6
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+5

Eine GRF 3. Grades hat einen Hochpunkt H(-1|8). Bei x=1 hat sie die Gerade mit der Funktionsgleichng g(x)=-4x+4 als Tangente. Bestimmen Sie f(x). Ich finde die 4. Bedingung nicht

Gesucht ist die Gleichung:  $$y=ax^3+bx^2+cx+d$$

1. Bedingung: Hochpunkt H(-1|8) :

$$\small{\text{
$ 8=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d\\
\qquad \boxed{8=-a+b-c+d} \quad (1)
$ }}$$

2. Bedingung: Punkt ( x=1, y=0 )  g(1) = -4*(1) + 4 = 0 = f(1)

$$\small{\text{
$ 0=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=0\\
\qquad \boxed{0=a+b+c+d} \quad (2)
$ }}$$

 

Die Bedingungen zur Ableitung :  $$y'=3ax^2+2bx+c$$

 

3. Bedingung: f'(1) = -4     g'(1) = f'(1) = -4

$$\small{\text{
$ -4=3a(1)^2+2b(1)+c\\
\qquad \boxed{-4=3a+2b+c} \quad (3)
$ }}$$

4. Bedingung:  f'(-1)= 0 existiert ein Hochpunkt

$$\small{\text{
$ 0=3a(-1)^2+2b(-1)+c\\
\qquad \boxed{0=3a-2b+c} \quad (4)
$ }}$$

 

Alle Bedingungen in der Übersicht als Gleichungssystem:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{lrcl}
(1) & 8 &=& - a +b - c +d \\
(2) & 0 &=& a + b + c +d \\
(3) &-4 &=& 3a + 2b + c \\
(4) & 0 &=& 3a-2b+c \\
\hline
(1)+(2)& 8 &=& 2b+2d \quad | \quad :2 \\
(6) & 4 &=& b+d \\
\hline
(3)+(4)& -4 &=& 6a + 2c \quad | \quad :2 \\
(5) & -2 &=& 3a+c \\
\hline
(2) & 0 &=& a + (b+d) + c \quad | \quad b+d = 4\\
& 0 &=& a + 4 + c \\
& a &=& -4-c \\
\hline
(5) & 3a &=& -2 -c \quad | \quad a = -4-c \\
& 3(-4-c) &=& -2-c \\
& -12-3c &=& -2-c \\
& 2c &=& -10 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{c} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-5} \\
\hline
& a &=& -4 -c \quad | \quad c = -5 \\
& a &=& -4 -(-5) \\
& a &=& -4 + 5 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{a} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \\
\hline
(3) & 2b &=& -4-3a-c \quad | \quad c = -5 \quad a = 1\\
& 2b &=& -4-3+5 \\
& 2b &=& -7 + 5 \\
& 2b &=& -2 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{b} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-1} \\
\hline
(6) & d &=& 4-b \quad | \quad b = -1 \\
& d &=& 4 - (-1) \\
& d &=& 4+1 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{d} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} \\
\hline
\end{array}
$
}}\\\\\\
\small{\text{Die Gleichung lautet:
$
\boxed{y = x^3 - x^2 - 5x + 5}
$
}}$$

 23.02.2015
 #1
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0

Hey anonymous,

 

nur erst mal eine Frage, hast du zufällig die Lsg. Ich hätte 4 Bedingungen, aber ob die Lsg die Richtige ist, weiß ich grad nicht. Ich bin noch am Prüfen.

gruß

gandalf the green

 23.02.2015
 #2
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hey,

 

ich hatte es mal berechnet, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis. Zumindest, als ich es geprüft habe komme ich auf andere Werte. Deswegen schreibe ich erst mal die 4 Bedingungen hin, die ich habe:

 

I    H(-1/8) in f (x)

II   P(1/g(1)) in f(x)

III f´(-1) =0

IV f´(1)=-4 --> hier bin ich mir grad nicht 100% sicher. Der Anstieg von g(x) ist -4 und der müsste an der Stelle 1 von f(x) ja auch -4 sein. Deswegen f´(1)= -4

 

gruß

gandalf the green

 23.02.2015
 #3
avatar+12525 
+5

Omi67 23.02.2015
 #4
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0

Hey Omi67;

 

aber der Hochpunkt ist nicht bei -1 und 8...

Ich habe folgende Werte :

 

a=1 , b= -1, c= -5 und d = 5

 

gruß gandalf the green

 23.02.2015
 #5
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0

Hab nämlich die selben Gleichungen aber ein anderes Ergebnis oO... und hab es auch mit nen Matrixlöser gemacht... was geht hier nur schief :)

könntest du mal Bitte meine Lösungen in mathegrafix ausgeben lassen?

 

gruß gandalf the green

 23.02.2015
 #6
avatar+26364 
+5
Beste Antwort

Eine GRF 3. Grades hat einen Hochpunkt H(-1|8). Bei x=1 hat sie die Gerade mit der Funktionsgleichng g(x)=-4x+4 als Tangente. Bestimmen Sie f(x). Ich finde die 4. Bedingung nicht

Gesucht ist die Gleichung:  $$y=ax^3+bx^2+cx+d$$

1. Bedingung: Hochpunkt H(-1|8) :

$$\small{\text{
$ 8=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d\\
\qquad \boxed{8=-a+b-c+d} \quad (1)
$ }}$$

2. Bedingung: Punkt ( x=1, y=0 )  g(1) = -4*(1) + 4 = 0 = f(1)

$$\small{\text{
$ 0=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=0\\
\qquad \boxed{0=a+b+c+d} \quad (2)
$ }}$$

 

Die Bedingungen zur Ableitung :  $$y'=3ax^2+2bx+c$$

 

3. Bedingung: f'(1) = -4     g'(1) = f'(1) = -4

$$\small{\text{
$ -4=3a(1)^2+2b(1)+c\\
\qquad \boxed{-4=3a+2b+c} \quad (3)
$ }}$$

4. Bedingung:  f'(-1)= 0 existiert ein Hochpunkt

$$\small{\text{
$ 0=3a(-1)^2+2b(-1)+c\\
\qquad \boxed{0=3a-2b+c} \quad (4)
$ }}$$

 

Alle Bedingungen in der Übersicht als Gleichungssystem:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{lrcl}
(1) & 8 &=& - a +b - c +d \\
(2) & 0 &=& a + b + c +d \\
(3) &-4 &=& 3a + 2b + c \\
(4) & 0 &=& 3a-2b+c \\
\hline
(1)+(2)& 8 &=& 2b+2d \quad | \quad :2 \\
(6) & 4 &=& b+d \\
\hline
(3)+(4)& -4 &=& 6a + 2c \quad | \quad :2 \\
(5) & -2 &=& 3a+c \\
\hline
(2) & 0 &=& a + (b+d) + c \quad | \quad b+d = 4\\
& 0 &=& a + 4 + c \\
& a &=& -4-c \\
\hline
(5) & 3a &=& -2 -c \quad | \quad a = -4-c \\
& 3(-4-c) &=& -2-c \\
& -12-3c &=& -2-c \\
& 2c &=& -10 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{c} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-5} \\
\hline
& a &=& -4 -c \quad | \quad c = -5 \\
& a &=& -4 -(-5) \\
& a &=& -4 + 5 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{a} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \\
\hline
(3) & 2b &=& -4-3a-c \quad | \quad c = -5 \quad a = 1\\
& 2b &=& -4-3+5 \\
& 2b &=& -7 + 5 \\
& 2b &=& -2 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{b} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-1} \\
\hline
(6) & d &=& 4-b \quad | \quad b = -1 \\
& d &=& 4 - (-1) \\
& d &=& 4+1 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{d} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} \\
\hline
\end{array}
$
}}\\\\\\
\small{\text{Die Gleichung lautet:
$
\boxed{y = x^3 - x^2 - 5x + 5}
$
}}$$

heureka 23.02.2015
 #7
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+3

Hallo,

genau das hatte ich eben auch raus :D

 

gruß  

gandalf the green

 23.02.2015

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