Eine GRF 3. Grades hat einen Hochpunkt H(-1|8). Bei x=1 hat sie die Gerade mit der Funktionsgleichng g(x)=-4x+4 als Tangente. Bestimmen Sie

Eine GRF 3. Grades hat einen Hochpunkt H(-1|8). Bei x=1 hat sie die Gerade mit der Funktionsgleichng g(x)=-4x+4 als Tangente. Bestimmen Sie f(x). Ich finde die 4. Bedingung nicht

Gesucht ist die Gleichung:  $$y=ax^3+bx^2+cx+d$$

1. Bedingung: Hochpunkt H(-1|8) :

$$\small{\text{
$ 8=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d\\
\qquad \boxed{8=-a+b-c+d} \quad (1)
$ }}$$

2. Bedingung: Punkt ( x=1, y=0 )  g(1) = -4*(1) + 4 = 0 = f(1)

$$\small{\text{
$ 0=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=0\\
\qquad \boxed{0=a+b+c+d} \quad (2)
$ }}$$

Die Bedingungen zur Ableitung :  $$y'=3ax^2+2bx+c$$

3. Bedingung: f'(1) = -4     g'(1) = f'(1) = -4

$$\small{\text{
$ -4=3a(1)^2+2b(1)+c\\
\qquad \boxed{-4=3a+2b+c} \quad (3)
$ }}$$

4. Bedingung:  f'(-1)= 0 existiert ein Hochpunkt

$$\small{\text{
$ 0=3a(-1)^2+2b(-1)+c\\
\qquad \boxed{0=3a-2b+c} \quad (4)
$ }}$$

Alle Bedingungen in der Übersicht als Gleichungssystem:

$$\small{\text{
$
\begin{array}{lrcl}
(1) & 8 &=& - a +b - c +d \\
(2) & 0 &=& a + b + c +d \\
(3) &-4 &=& 3a + 2b + c \\
(4) & 0 &=& 3a-2b+c \\
\hline
(1)+(2)& 8 &=& 2b+2d \quad | \quad :2 \\
(6) & 4 &=& b+d \\
\hline
(3)+(4)& -4 &=& 6a + 2c \quad | \quad :2 \\
(5) & -2 &=& 3a+c \\
\hline
(2) & 0 &=& a + (b+d) + c \quad | \quad b+d = 4\\
& 0 &=& a + 4 + c \\
& a &=& -4-c \\
\hline
(5) & 3a &=& -2 -c \quad | \quad a = -4-c \\
& 3(-4-c) &=& -2-c \\
& -12-3c &=& -2-c \\
& 2c &=& -10 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{c} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-5} \\
\hline
& a &=& -4 -c \quad | \quad c = -5 \\
& a &=& -4 -(-5) \\
& a &=& -4 + 5 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{a} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{1} \\
\hline
(3) & 2b &=& -4-3a-c \quad | \quad c = -5 \quad a = 1\\
& 2b &=& -4-3+5 \\
& 2b &=& -7 + 5 \\
& 2b &=& -2 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{b} & \textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-1} \\
\hline
(6) & d &=& 4-b \quad | \quad b = -1 \\
& d &=& 4 - (-1) \\
& d &=& 4+1 \\
& \textcolor[rgb]{1,0,0}{d} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{5} \\
\hline
\end{array}
$
}}\\\\\\
\small{\text{Die Gleichung lautet:
$
\boxed{y = x^3 - x^2 - 5x + 5}
$
}}$$

Hey anonymous,

nur erst mal eine Frage, hast du zufällig die Lsg. Ich hätte 4 Bedingungen, aber ob die Lsg die Richtige ist, weiß ich grad nicht. Ich bin noch am Prüfen.

gruß

gandalf the green

hey,

ich hatte es mal berechnet, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis. Zumindest, als ich es geprüft habe komme ich auf andere Werte. Deswegen schreibe ich erst mal die 4 Bedingungen hin, die ich habe:

I    H(-1/8) in f (x)

II   P(1/g(1)) in f(x)

III f´(-1) =0

IV f´(1)=-4 --> hier bin ich mir grad nicht 100% sicher. Der Anstieg von g(x) ist -4 und der müsste an der Stelle 1 von f(x) ja auch -4 sein. Deswegen f´(1)= -4

gruß

gandalf the green

Hey Omi67;

aber der Hochpunkt ist nicht bei -1 und 8...

Ich habe folgende Werte :

a=1 , b= -1, c= -5 und d = 5

gruß gandalf the green

Hab nämlich die selben Gleichungen aber ein anderes Ergebnis oO... und hab es auch mit nen Matrixlöser gemacht... was geht hier nur schief :)

könntest du mal Bitte meine Lösungen in mathegrafix ausgeben lassen?

gruß gandalf the green

Hallo,

genau das hatte ich eben auch raus :D

gruß  

gandalf the green