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Ein Schiff fährt vom Land aufs Meer hinaus. Das Land versinkt mit seinem höchsten Punkt: 2110m eben hinter dem Horizont. Der Mastkorb des Schiffes liegt 20m über dem Meer. Wie weit ist das Schiff vom Lande entfernt?

 24.01.2022
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Ich hab mal eine kleine Skizze gemalt, damit wir uns das ein bisschen vorstellen können. Der Kreis ist dabei die Erde, die wir als kugelförmig annehmen. Die rote Linie verbindet den Endpunkt des Schiffsmasten mit dem Erdmittelpunkt, die grüne Linie verbindet den höchsten Land-Punkt mit dem Erdmittelpunkt. 

 

 

Die blaue Linie verbindet genau den Wasser-Punkt, der die Sicht auf den höchsten Land-Punkt verdeckt, mit dem Erdmittelpunkt. Dieser Wasser-Punkt liegt genau auf der Erdoberfläche, daher ist die blaue Linie genau so lang wie der Erdradius. Für den nehm' ich den Wikipedia-Wert von 6371km. Die rote ist genau um Mastlänge länger, also 6371,02km. Die grüne ist 2110m länger als die blaue, also 6373,11km. So können wir mit dem Cosinus in beiden rechtwinkligen Dreiecken die Winkel zwischen rot&blau bzw. blau&grün bestimmen:

 

\(\alpha_{rb} = arccos(\frac{6371}{6371,02} ) \approx 0,0025° \ \ \ \& \ \ \ \alpha_{bg} = arccos(\frac{6371}{6373,11}) \approx 0,0257°\)

 

Damit können wir die Entfernung des Schiffs vom Land berechnen als Teil des Kreisumfangs unseres "Erd-Kreises", also \(\frac{0,0025°+0,0257°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 6371km \approx 3,14km\)

 24.01.2022

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