+51 Lieber Probolobo, eine neue Tägliche Frage 
Wie immer danke schonmal im Vorraus!!!
+3976 Ein Lineare-Algebra-Klassiker! :D
Erstmal: Ein Eigenvektor von A ist ein Vektor v, für den Av=xv für irgendeine Zahl x gilt - also ein Vektor, der von A "nur" gestreckt wird.
Wenn Av=xv, dann ist Av-xv=0, durch Ausklammern von v entsteht (A-x*E)v=0 (E die Einheitsmatrix). Man sieht also: v ist im Kern von (A-xE)!
Das bedeutet auch, dass A-xE nicht invertierbar ist, also muss die Determinante Null sein. Und so finden wir auch die Eigenwerte: Sie sind die Nullstellen des Polynoms det(A-xE).
(Mit Regel von Sarrus:)
=(-2-x)(5-x)(-3-x)+4*3*2+3*(-1)(-4) -3(5-x)*2-3*(-4)(-2-x)-4*(-1)(-3-x) =
=(-10-3x+x²)(-3-x) +24 +12 -30 +6x -24 -12x -12 -4x =
= 30 +9x -3x² +10x +3x² -x³ +6 +6x -36 -16x =
= -x³ +9x.
= -x(x²-9)
Die Nullstellen sind hier also x=0, x=3 und x=-3 - das sind die Eigenwerte unserer Matrix.
Für die Eigenvektoren bestimmen wir zu jedem gefundenen x-Wert ker(A-xE). Ich mach's mal für x=3, für die anderen Eigenwerte schaffst du's selber, oder? ;)
+3976 Übrigens: Im Zweifelsfall immer von irgendwelchen Rechnern durchrechnen lassen, damit du das Ergebnis bestätigen kannst.
Zu empfehlen: wolframalpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-2%2C-1%2C2%7D%2C%7B4%2C5%2C-4%7D%2C%7B3%2C3%2C-3%7D%7D
Mit dem Link müsstest du's eigentlich direkt für deine Matrix sehen :)
+51 Habe gerade versucht den eigenvektor für -3 auszurechnen.
Kannst du mir sagen wo der Fehler ist?
Wie immer danke schonmal im Vorraus!! (Hoffe es is halbwegs lesbar)
+51 Ok, das war ein kleiner leichtsinnsfehler von mir ^^, aber wie mache ich denn dann weiter? Ich hatte bei deiner Lösung nicht zu 100% verstanden wie du auf (0/1/2) gekommen bist
+3976 Dann bedeutet die zweite Zeile "0 6 -6" ausgeschrieben
6x2 -6x3 = 0 -> x2 = x3.
Das setze ich noch in die erste Zeile 1 -1 2 ein:
aus 1x1 -1x2 +2x3 =0 wird dann:
1x1 -1x3 +2x3 = 0
x1 +x3 = 0
-> x1 = -x3.
Jetzt haben wir herausgefunden, wie wir x1 und x2 in Abhängigkeit von x3 ausdrücken können. Das sagt uns, wie unsere Lösungsmenge aussieht:
Das ist die Menge unserer Eigenvektoren (außer dem Nullvektor, der ist nie ein Eigenvektor). Die Eigenvektoren sind also alle (nicht-Null-)Vielfachen des Vektors (-1 1 1) (als Spalte).
