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Lieber Probolobo, eine neue Tägliche Frage laugh Wie immer danke schonmal im Vorraus!!!

 09.03.2021
 #1
avatar+2962 
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Ein Lineare-Algebra-Klassiker! :D

 

Erstmal: Ein Eigenvektor von A ist ein Vektor v, für den Av=xv für irgendeine Zahl x gilt - also ein Vektor, der von A "nur" gestreckt wird.

Wenn Av=xv, dann ist Av-xv=0, durch Ausklammern von v entsteht (A-x*E)v=0 (E die Einheitsmatrix). Man sieht also: v ist im Kern von (A-xE)!

Das bedeutet auch, dass A-xE nicht invertierbar ist, also muss die Determinante Null sein. Und so finden wir auch die Eigenwerte: Sie sind die Nullstellen des Polynoms det(A-xE).

 

 

(Mit Regel von Sarrus:)
 

=(-2-x)(5-x)(-3-x)+4*3*2+3*(-1)(-4) -3(5-x)*2-3*(-4)(-2-x)-4*(-1)(-3-x) = 

=(-10-3x+x²)(-3-x) +24 +12 -30 +6x -24 -12x -12 -4x = 

= 30 +9x -3x² +10x +3x² -x³ +6 +6x -36 -16x = 

= -x³ +9x.

= -x(x²-9)

 

Die Nullstellen sind hier also x=0, x=3 und x=-3 - das sind die Eigenwerte unserer Matrix.

Für die Eigenvektoren bestimmen wir zu jedem gefundenen x-Wert ker(A-xE). Ich mach's mal für x=3, für die anderen Eigenwerte schaffst du's selber, oder? ;)

 

 09.03.2021
 #2
avatar+2962 
+2

Übrigens: Im Zweifelsfall immer von irgendwelchen Rechnern durchrechnen lassen, damit du das Ergebnis bestätigen kannst.

Zu empfehlen: wolframalpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-2%2C-1%2C2%7D%2C%7B4%2C5%2C-4%7D%2C%7B3%2C3%2C-3%7D%7D

 

Mit dem Link müsstest du's eigentlich direkt für deine Matrix sehen :)

 09.03.2021
 #3
avatar+51 
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Habe gerade versucht den eigenvektor für -3 auszurechnen.

Kannst du mir sagen wo der Fehler ist?

Wie immer danke schonmal im Vorraus!! (Hoffe es is halbwegs lesbar)

 10.03.2021
 #4
avatar+2962 
+2

Im letzten Gauß-Schritt: -2 -2*2 = -6, nicht 2. Ansonsten sieht alles soweit gut aus (lesbar ist's auch, keine Angst ;) )

Probolobo  10.03.2021
 #5
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Ok, das war ein kleiner leichtsinnsfehler von mir ^^, aber wie mache ich denn dann weiter? Ich hatte bei deiner Lösung nicht zu 100% verstanden wie du auf (0/1/2) gekommen bist

 10.03.2021
 #6
avatar+2962 
+2

Dann bedeutet die zweite Zeile "0  6  -6" ausgeschrieben 

 

6x2 -6x3 = 0  -> x2 = x3.

 

Das setze ich noch in die erste Zeile 1  -1  2 ein:

aus 1x1 -1x2 +2x=0  wird dann:

 

1x1 -1x3 +2x3 = 0

x1 +x3 = 0

 

-> x1 = -x3.

 

Jetzt haben wir herausgefunden, wie wir x1 und x2 in Abhängigkeit von x3 ausdrücken können. Das sagt uns, wie unsere Lösungsmenge aussieht: 

 

 

Das ist die Menge unserer Eigenvektoren (außer dem Nullvektor, der ist nie ein Eigenvektor). Die Eigenvektoren sind also alle (nicht-Null-)Vielfachen des Vektors (-1  1  1) (als Spalte).

Probolobo  10.03.2021

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