Hallo zusammen!
Habe eine kniffelige Frage zu beantworten.
Man zeige, dass es bei einer Drehspiegelung (d. h. bei einer Zusammensetzung einer Spiegelung
und einer Drehung um den Winkel φ mit Drehachse senkrecht zur Spiegelungsebene)
nicht darauf ankommt, ob zuerst gespiegelt und dann gedreht bzw. zuerst gedreht und
dann gespiegelt wird. Gilt das für eine beliebige Zusammensetzung einer Spiegelung und
einer Drehung?
Anleitung: Man wähle ein rechtwinkeliges Koordinatensystem mit x-, y-, z-Achse so, dass
die Spiegelungsebene die xy-Ebene ist, und überlege jeweils, wie die Drehspiegelung auf
die Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung wirkt. Für die Anschlussfrage drehe man
anstatt um die z-Achse z. B. um die x-Achse.
Mir ist die Aufgabenstellung mit dem Koordinatensystem ein Rätsel, denn würde ich als Anschauungsobjekt ein Geodreieck nehmen und es spiegeln oder zuerst drehen, merkt man dass es keinen unterschied macht, doch wie ist es in einem koordinatensystem zu zeigen?
Also ich würde so vorgehen: Die Spiegelung macht \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} x\\ y\\ -z \end{pmatrix}\)
die Spiegelung lässt sich also als Matrix
\(\mathbf{S} = \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0\\ \hline 0 & 0 & -1 \end{array} \right]\)
schreiben, die Drehung in der x-y-Ebene hat dagegen die typische Form
\(\mathbf{D} = \left[ \begin{array}{cc|c} \cos\phi & \pm\sin\phi & 0 \\ \mp\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\).
Es ist jetzt lediglich zu zeigen, dass bei de Matrizen kommutieren, also dass stets\(\mathbf{D}\mathbf{S}-\mathbf{S}\mathbf{D}=\mathbf{0}\)
P. S. anhand der Matrizen kannst Du sehen, dass Drehung und Spiegelung in unterschiedlichen Teilräumen des 3-dimensionalen Raums operieren, sie beeinflussen sich also nicht gegenseitig (das wird gerade durch die Kommutatorrelation ausgedrückt). Die Drehungen in der x-y-Ebene verändern nur die x- und y- Koordinate der Punkte (Vektoren), die Spiegelung invertiert die z-Koordinate. Die Reihenfolge für zusammengesetzte Drehungen und Spiegelungen lässt sich also beliebig verändern.
