+941 Berechne die Lösung für die Differentialgleichung \(y' + 3y = x^2\) mit der Anfangsbedingung \(y(0) = 1\). Verwende die Methode der Variablenseparation und bestimme die explizite Form der Lösung y(x).
+941 Die gegebene Differentialgleichung lautet:
\(y' + 3y = x^2\)
mit der Anfangsbedingung:
\(y(0) = 1\)
Wir wenden die Methode der Variablenseparation an und schreiben die Differentialgleichung um:
\(dy/dx + 3y = x^2\)
\(dy/dx = x^2 - 3y\)
\(dy/(x^2 - 3y) = dx\)
Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:
\(∫ dy/(x^2 - 3y) = ∫ dx\)
Zur Integration des linken Integrals verwenden wir die Substitution \(u = x^2 - 3y\). Dann gilt \(du/dy = -3\), also \(du = -3 dy\).
\(∫ -1/3 du/u = ∫ dx\)
\(-ln|u|/3 = x + C\)
\(-ln|x^2 - 3y|/3 = x + C\)
\(|x^2 - 3y| = e^(-3x-3C)\)
Da \(y(0) = 1\), setzen wir\( x = 0\) und \(y = 1\) in die Gleichung ein und lösen nach C auf:
\(|0^2 - 3(1)| = e^(-3*0-3C)\)
\(|-3| = e^(-3C)\)
\(3 = e^(-3C)\)
\(C = -ln(1/3)\)
\(C = ln(3)\)
Daher lautet die explizite Lösung der Differentialgleichung:
\(|x^2 - 3y| = 3e^(-3x)\)
Wenn x < 0, dann gilt:
\(x^2 - 3y = -3e^(-3x)\)
\(y = (x^2 + 3e^(-3x))/3\)
Wenn x ≥ 0, dann gilt:
\(x^2 - 3y = 3e^(-3x)\)
\(x^2 - 3y = 3e^(-3x)\)
Damit haben wir die Lösung y(x) der Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung gefunden.
