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Berechne die Lösung für die Differentialgleichung \(y' + 3y = x^2\) mit der Anfangsbedingung \(y(0) = 1\). Verwende die Methode der Variablenseparation und bestimme die explizite Form der Lösung y(x).

 12.02.2023
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avatar+939 
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Die gegebene Differentialgleichung lautet:

\(y' + 3y = x^2\)

mit der Anfangsbedingung:

\(y(0) = 1\)

Wir wenden die Methode der Variablenseparation an und schreiben die Differentialgleichung um:

\(dy/dx + 3y = x^2\)

\(dy/dx = x^2 - 3y\)

\(dy/(x^2 - 3y) = dx\)

Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:

\(∫ dy/(x^2 - 3y) = ∫ dx\)

Zur Integration des linken Integrals verwenden wir die Substitution \(u = x^2 - 3y\). Dann gilt \(du/dy = -3\), also \(du = -3 dy\).

\(∫ -1/3 du/u = ∫ dx\)

\(-ln|u|/3 = x + C\)

\(-ln|x^2 - 3y|/3 = x + C\)

\(|x^2 - 3y| = e^(-3x-3C)\)

Da \(y(0) = 1\), setzen wir\( x = 0\) und \(y = 1\) in die Gleichung ein und lösen nach C auf:

\(|0^2 - 3(1)| = e^(-3*0-3C)\)

\(|-3| = e^(-3C)\)

\(3 = e^(-3C)\)

\(C = -ln(1/3)\)

\(C = ln(3)\)

Daher lautet die explizite Lösung der Differentialgleichung:

\(|x^2 - 3y| = 3e^(-3x)\)

Wenn x < 0, dann gilt:

\(x^2 - 3y = -3e^(-3x)\)

\(y = (x^2 + 3e^(-3x))/3\)

Wenn x ≥ 0, dann gilt:

\(x^2 - 3y = 3e^(-3x)\)

\(x^2 - 3y = 3e^(-3x)\)

Damit haben wir die Lösung y(x) der Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung gefunden.

 14.02.2023

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