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Die “Floor”-Funktion ist definiert durch

⌊x⌋ = max{n ∈ Z | n ≤ x}. 

Die Funktion f sei definiert durch

 

 

 

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor \cdot x^{2}, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0\end{array}\right. \)

 11.12.2020
 #1
avatar+2201 
+1

Was ist denn mit dieser Funktion zu tun? 

 11.12.2020
 #3
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0

Zeigen Sie, dass f in allen Punkten der Form x0 = n1 , n ∈ Z \ {0}, unstetig

ist.

Gast 11.12.2020
 #4
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Können Sie das lösen ?

Gast 11.12.2020
 #2
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0

Zeigen Sie, dass f in allen Punkten der Form x0 = n1 , n ∈ Z \ {0}, unstetig

ist.

 11.12.2020
 #5
avatar+2201 
+1

Zu zeigen: f ist unstetig in allen ganzen Zahlen n ungleich 0.

 

Die Aussage ist aber falsch! Denn für alle Zahlen x>1 ist f(n) = 0*x²=0.

Daher ist für jede natürliche Zahl n>1 der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigem Grenzwert gleich dem Funktionswert =0 und daher die Funktion stetig.

 

Oder heißt " n1 " 1/n? In den Punkten ist die Funktion nämlich tatsächlich unstetig:

 

\(lim_{x \rightarrow \frac{1}{n}^+} \ f(x) = (n-1)n² \\ lim_{x \rightarrow \frac{1}{n}^-} \ f(x) = n \cdot n² \neq (n-1)n^2\)

 

Die Grenzwerte sind also unterschiedlich und daher die Funktion unstetig.

 11.12.2020
 #6
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0

Können Sie das lösen?

 

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-n^{2}}{\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+n^{2}}{n 2^{n}} \)

 11.12.2020
 #7
avatar+2201 
+1

Bin mir nicht sicher, ist so gar nicht mein Fachgebiet.

 

Hier findet man auf jeden Fall allerhand Kriterien für Konvergenz und Divergenz von Reihen:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_einer_Reihe_beweisen:_Konvergenzkriterien#Absolute_Konvergenz

 

Eventuell finde ich am Wochenende die Zeit, mehr darüber nachzudenken, und reiche die Antwort dann nach.

Probolobo  11.12.2020

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