Die “Floor”-Funktion ist definiert durch
⌊x⌋ = max{n ∈ Z | n ≤ x}.
Die Funktion f sei definiert durch
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor \cdot x^{2}, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0\end{array}\right. \)
+3976 Zu zeigen: f ist unstetig in allen ganzen Zahlen n ungleich 0.
Die Aussage ist aber falsch! Denn für alle Zahlen x>1 ist f(n) = 0*x²=0.
Daher ist für jede natürliche Zahl n>1 der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigem Grenzwert gleich dem Funktionswert =0 und daher die Funktion stetig.
Oder heißt " n1 " 1/n? In den Punkten ist die Funktion nämlich tatsächlich unstetig:
\(lim_{x \rightarrow \frac{1}{n}^+} \ f(x) = (n-1)n² \\ lim_{x \rightarrow \frac{1}{n}^-} \ f(x) = n \cdot n² \neq (n-1)n^2\)
Die Grenzwerte sind also unterschiedlich und daher die Funktion unstetig.
Können Sie das lösen?
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-n^{2}}{\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+n^{2}}{n 2^{n}} \)
+3976 Bin mir nicht sicher, ist so gar nicht mein Fachgebiet.
Hier findet man auf jeden Fall allerhand Kriterien für Konvergenz und Divergenz von Reihen:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_einer_Reihe_beweisen:_Konvergenzkriterien#Absolute_Konvergenz
Eventuell finde ich am Wochenende die Zeit, mehr darüber nachzudenken, und reiche die Antwort dann nach.
