Der hyperbolische cosinus und der hyperbolische sinus werden definiert durch
\(
\begin{array}{ll}
\cosh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, & z \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{z}+e^{-z}\right) \\
\sinh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, & z \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{z}-e^{-z}\right)
\end{array}
\)
(a) \( \quad \) Skizzieren Sie die Graphen von cosh: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).
(b) Zeigen Sie für alle \( z \in \mathbb{C} \) :
\(
\cosh (z)=\cos (i z)
\)
(c) Finden Sie eine zu (b) analoge Formel für sinh. Begründen Sie Ihr Ergebnis.
(d) Zeigen Sie \( \cosh (z)^{2}-\sinh (z)^{2}=1 \) für alle \( z \in \mathbb{C} \)
