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Hallo! Ich bin gerade dabei Übungsaufgaben zu machen, bei einigen Aufgaben konnte ich etwas lösen aber bei folgenden Aufgaben komme ich nach mehreren Stunden nicht auf die Lösungen.. Mein Buch zeigt mir leider keinen Lösungsweg sondern nur das Ergebnis an. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand bei den folgenenden Aufgaben einen Rechenweg zeigen könnte! :-)
Untersuchen Sie, welche der folgenden Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. Falls der Grenzwert von f fu ̈r x → x0 nicht existiert, so bestimmen Sie die einseitigen Grenzwerte fu ̈r x → x0+ und x → x0−.

 

lim                    6x^3 -2x^2 -3-x^4

                         -----------------------

x-->unendlich    5-8x^4-x^2

 

(sorry für die Schreibweise, die gestrichelten Linien bedeuten ein Bruchstrich auch lim x--> unendlich stehen untereinander)

 

lim         x^2+2x-8

              -------------

  x-->2     x^2-4x+4

 

 

lim.        9-7x

            ---------

z-->2     x^3 -2


 

 

lim           (8^-1/x -2 1/x+3)

x--> -3 -    
 

lim        3-2x^2-5x

x-->-3    -------------

            x^2+8x+15

 

Eine andere Aufgabe wo ich nicht auf das Ergebis komme lautet:

 

gegeben ist eine Funktion f: R--> R mit

 

f(x) = 1/ e^x-1+5x-1 für x < 1

         √a(2x+3)(x+4) für x > 1

 

1) Untersuchen Sie die Funktion f für x ≠ 1 auf Stetigkeit

2) für welchen wert a ist f stetig  für alle x E R. Begründen sie ihre Antwort

 

Ich bin für jede Hilfe dankbar🙂

 04.12.2021
 #1
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Kann jemand helfen? :(

 05.12.2021
 #2
avatar+3181 
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Für die Grenzwerte könntest du im Taschenrechner Zahlen einsetzen, die nah an der "Grenzwert-Zahl" sind. also zB. für den Limes mit z->2 linksseitig 1,9; 1,99; 1,999 usw. & rechtsseitig 2,1; 2,01; 2,001 usw. . Dabei wirst du entweder feststellen, dass die Werte immer größer werden, dann ist der Grenzwert unendlich; oder dass die Werte immer näher an eine Zahl heranrücken. Also Ergebnisse wie 4,12; 4,04; 4,00043 etc. , immer näher an 4, also ist der Grenzwert 4. Das ist natürlich kein rechnerischer Nachweis, reicht aber eigentlich immer um Grenzwerte zu bestimmen.

 

Zur zweiten Aufgabe: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine "Sprungstellen" oder Definitionslücken hat. Die angegebene Funktion hat abgesehen von x=1 keine Definitionslücken & besteht aus zwei teilen, die beide als Komposition von stetigen Funktionen stetig sind. Der einzige spannende Part ist eigentlich der Bruch im ersten Teil, aber 1/ex ist da nicht problematisch weil ex sowieso nie 0 ist. Sie ist also generell stetig für x ungleich 1.

Damit f auch bei x=1 stetig sein kann, müsste die Funktion da erstmal definiert sein. Eins der Ungleichheitszeichen müsste daher ein "Kleiner-Gleich"-Zeichen anstelle einer echten Ungleichheit sein. Dann muss noch der Funktionswert des ersten (oberen) Teils der Funktion bei x=1 mit dem Funktionswert des unteren Teils bei x=1 übereinstimmen. a ist so zu bestimmen, dass diese Werte gleich sind.

 

Ich hoff' das hilft, wenn noch was unklar ist frag' gern nochmal nach!

 05.12.2021
 #3
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Cool danke für diesen Tipp! 
 

leider muss ich es auch rechnerisch beweisen, was mich etwas durcheinander bringt.

 

denn wenn ich diese beiden aufgaben ansehe:

 

lim.        9-7x

            ---------

z-->2     x^3 -2

 

lim           3+2x

z-> -1      --------

                (X+1)^2

 

verstehe ich absolut nicht weiter. Manchmal konnte man bei einer Aufgabe den grössten exponenten die im Nenner vorkommt, kürzen. Oder den Term umformen. Jemand meinte zu mir ich solle bspw. Bei der ersten Aufgabe die 3 einsetzen (??). Ich verstehe das Thema leider absolut gar nicht, tut mir Leid für diese vielen Fragen. :( 

ich würde gerne einen Ansatz schreiben wie ich vorgehen würde, aber ich habe keinerlei Ahnung

 05.12.2021
 #4
avatar+3181 
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Du musst dich nicht für die Fragen entschuldigen, dafür ist so ein Forum doch da :)

 

Erstmal kannst du immer versuchen, die Zahlen unterm Limes einfach einzusetzen. Beim ersten Grenzwert geht das nämlich sogar:

 

lim.        9-7x

            ---------

z-->2     x^3 -2

 

(Übrigens: Unterm Limes müsste x-->2 stehen statt z-->2, oder? z kommt in der Funktion ja gar nicht vor.)

Setzt man für x in den Term 2 ein, so passiert nichts "schlimmes",  man kann den Wert einfach berechnen. Das Ergebnis ist dann dein Grenzwert & das Einsetzen reicht auch als rechnerischer Beweis. 

Es ist

\(lim_{x \rightarrow 2}\frac{9-7x}{x^3-2} = \frac{9-7\cdot 2}{2^3-2 } = \frac{-5}{6}\)

 

Oft wird das nicht funktionieren, denn für Grenzwerte interessiert man sich typischerweise an Definitionslücken oderso, wo's die Funktion gar nicht gibt. Das ist auch bei der anderen der Fall:

 

lim           3+2x

z-> -1      --------

                (X+1)^2

 

(Auch hier x statt z unterm Limes)

Setzt man hier für x in der Funktion -1 ein, so wird der Nenner 0 - und durch 0 kann man nicht teilen. Wenn einsetzen also nicht funktioniert, macht's Sinn, Zähler und Nenner erstmal einzeln zu betrachten: 3+2x geht hier gegen 1, denn 3+2*(-1)=3-2=1. Im Nenner geht (x+1)2 gegen 0, denn (-1+1)2=0. Wir teilen also +1 durch etwas immer kleineres (das aber stets positiv ist, denn im Nenner wird ja noch quadriert!). das Ergebnis dabei ist dann auf jeden Fall positiv. Und wenn etwas konstantes "durch 0 geteilt" wird, ist der Grenzwert dann unendlich. 

Probolobo  05.12.2021
 #5
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+1

Die Erklärung war super! Endlich habe ich es verstanden!!! Danke danke 🤩 

 05.12.2021
 #6
avatar+3181 
0

Freut mich zu hören, danke für dein Lob! :)

Probolobo  05.12.2021
 #7
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0

Ups. Noch eine kleine Frage. Mache gerade eine weitere Aufgabe. 
 

sie lautet:

 

lim.      √2x+2  -3^1+x +log(x2+8)

x->1     ---------------------------------

               x+1


Entschuldige dieses schlechte Wurzelzeichen. Ich finde hier irgendwie keine passende Funktion. Das Wurzelzeichen reicht bis zum +2. bei -3 ist die Wurzel schon weg.

 

ich habe mir jetzt gedacht, ich könnte es wieder durch das einsetzen von 1 rausbekommen. Habe also für alle x=1 eingesetzt. 
 

ich hoffe, dass war richtig?

Nun ja jetzt stecke ich fest. Das letzte was ich aufgeschrieben habe war folgendes:

 

2- 31+1+log(9)

-------------------

2

 

Stimmt das schon mal?

habe den Teil mit dem Einsetzen ausgelassen und schonmal das berechnet was man konnte.

Nun weiss ich leider nicht wie man das berechnen soll 🧐😰 Da sind ja viele Dinge miteinander gemischt 

 05.12.2021
 #8
avatar+3181 
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Das stimmt soweit, ja. Du könntest's prinzipiell einfach in einen Taschenrechner tippen oder den Rechner hier nutzen, dann müsstest du nichts per Hand rechnen. Hier geht's aber eigentlich: 31+1=32=9 und log9(9)=1, denn 9=91. Damit ist

 

2- 31+1+log9 (9)

-------------------

2

 

das gleiche wie 

 

(2-9+1)/2 = -6/2 = -3.

Probolobo  05.12.2021
 #9
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lim    (8-1/x- 21/x+3)

x-> -3 -

 

Jetzt bin ich leider bei Potenzen angekommen. Und was bedeutet eigentlich x-> -3- 

wieso zwei mal ein -? Hat das eine spezielle Bedeutung, die wichtig für diese Aufgabe ist?

8-1/-3 -21/-3+3

wäre mein Vorschlag, auch wenn mir unbekannt ist, was das doppelte Minus sein soll ^^
 

 05.12.2021
 #10
avatar+3181 
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Tatsächlich hat's eine Bedeutung - man kann sich ja von rechts oder von links am Zahlenstrahl an die -3 annähern. Das Minus hinter der -3 bedeutet, dass du dich von links annäherst, also mit Zahlen wie -3,1; -3,01; -3,001 usw.

So wie's dasteht ist dein Vorschlag auch korrekt. Wenn die Funktion allerdings so gemeint ist:

\(8^{\frac{-1}{x}}-2^{\frac{1}{x+3}}\)

hilft's dir so nix, weil du ja wieder durch 0 teilen müsstest. Wenn du dich von links an -3 annäherst, ist x+3<0. Daher geht dann 1/(x+3) gegen \(-\infty\). Folglich geht der \(2^{\frac{1}{x+3}}\)-Teil der Funktion dann gegen 0 und der Grenzwert ist \(8^{\frac{-1}{3}} = 0,5\)

Probolobo  05.12.2021

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