81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 Lösung ??????????
DIe zwei kleinsten positiven Lösungen
+14983 Brauch Hilfe
81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 Lösung ??????????
DIe zwei kleinsten positiven Lösungen.
Hallo Gast!
\(81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 \)
Wir setzen den Term \(sin^2(x)=v\) und setzen \(v\) in die trigonometrische Gleichung ein.
\(81v^2−117v+36=0 \)
a b c
Diese quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel:
\(v = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\( v = {117 \pm \sqrt{117^2-4\cdot 81\cdot 36} \over 2\cdot 81}\\ v=\frac{117\pm\sqrt {2025}}{162}=\frac{117\pm45}{162}\)
\(v_1=1\\ v_2=\frac{72}{162}=\frac{4}{9}=0,\overline{44}\)
Nun setzen wir die Werte von v in die trigonometrische Gleichung ein.
\(sin^2(x)=1\\ sin(x)=\sqrt{1}=\pm1\\ x=arc\ sin(\pm1)\)
Wir berücksichtigen, wie gefordert, nur die positiven Ergebniswerte.
\(x_1=\frac{\pi}{2}=1,5708\ oder\ 90°\\ x_2=\frac{3\pi}{2}=4,7124\ oder 270°\)
\(sin^2(x)=0,\overline{44}\\ sin(x)=\sqrt{0,\overline{44}}=\pm0,\overline{66}\\ x=arc\ sin(\pm0,\overline{66})\)
\(x_3=0,7297=41,81°\\ x_4=5,5535=318,19°\)
DIe zwei kleinsten positiven Lösungen sind \(x_3=0,7297=41,81°\ und\ x_1=\frac{\pi}{2}=90°.\)
Es existieren außer \(x_{1,2,3,4}\) noch zwei weitere x-Werte innerhalb \(2\pi \), die sind aber größer als \(\frac{3\pi}{2}\).
!
