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81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 Lösung ??????????

 

 

DIe zwei kleinsten positiven Lösungen 

 14.11.2019
 #1
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Brauch Hilfe

81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 Lösung ??????????

DIe zwei kleinsten positiven Lösungen.

 

Hallo Gast!

 

\(81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 \)

 

Wir setzen den Term \(sin^2(x)=v\)   und setzen \(v\) in die trigonometrische Gleichung ein.

 

\(81v^2−117v+36=0 \)

 a             b           c

 

Diese quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel:

\(v = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\( v = {117 \pm \sqrt{117^2-4\cdot 81\cdot 36} \over 2\cdot 81}\\ v=\frac{117\pm\sqrt {2025}}{162}=\frac{117\pm45}{162}\)


\(v_1=1\\ v_2=\frac{72}{162}=\frac{4}{9}=0,\overline{44}\)

 

Nun setzen wir die Werte von v in die trigonometrische Gleichung ein.

 

\(sin^2(x)=1\\ sin(x)=\sqrt{1}=\pm1\\ x=arc\ sin(\pm1)\)

 

Wir berücksichtigen, wie gefordert, nur die positiven Ergebniswerte.

 

\(x_1=\frac{\pi}{2}=1,5708\ oder\ 90°\\ x_2=\frac{3\pi}{2}=4,7124\ oder 270°\)

\(sin^2(x)=0,\overline{44}\\ sin(x)=\sqrt{0,\overline{44}}=\pm0,\overline{66}\\ x=arc\ sin(\pm0,\overline{66})\)

\(x_3=0,7297=41,81°\\ x_4=5,5535=318,19°\)

 

DIe zwei kleinsten positiven Lösungen sind    \(x_3=0,7297=41,81°\ und\ x_1=\frac{\pi}{2}=90°.\)

Es existieren außer \(x_{1,2,3,4}\) noch zwei weitere x-Werte innerhalb \(2\pi \), die sind aber größer als \(\frac{3\pi}{2}\).

laugh  !

 15.11.2019
bearbeitet von asinus  15.11.2019
bearbeitet von asinus  15.11.2019
bearbeitet von asinus  15.11.2019

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