Brauch Hilfe

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81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0 Lösung ??????????

DIe zwei kleinsten positiven Lösungen.

Hallo Gast!

$81sin^4(x)−117sin^2(x)+36=0$

Wir setzen den Term $sin^2(x)=v$   und setzen $v$ in die trigonometrische Gleichung ein.

$81v^2−117v+36=0$

 a             b           c

Diese quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel:

$v = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

$v = {117 \pm \sqrt{117^2-4\cdot 81\cdot 36} \over 2\cdot 81}\\ v=\frac{117\pm\sqrt {2025}}{162}=\frac{117\pm45}{162}$

$v_1=1\\ v_2=\frac{72}{162}=\frac{4}{9}=0,\overline{44}$

Nun setzen wir die Werte von v in die trigonometrische Gleichung ein.

$sin^2(x)=1\\ sin(x)=\sqrt{1}=\pm1\\ x=arc\ sin(\pm1)$

Wir berücksichtigen, wie gefordert, nur die positiven Ergebniswerte.

$x_1=\frac{\pi}{2}=1,5708\ oder\ 90°\\ x_2=\frac{3\pi}{2}=4,7124\ oder 270°$

$sin^2(x)=0,\overline{44}\\ sin(x)=\sqrt{0,\overline{44}}=\pm0,\overline{66}\\ x=arc\ sin(\pm0,\overline{66})$

$x_3=0,7297=41,81°\\ x_4=5,5535=318,19°$

DIe zwei kleinsten positiven Lösungen sind    $x_3=0,7297=41,81°\ und\ x_1=\frac{\pi}{2}=90°.$

Es existieren außer $x_{1,2,3,4}$ noch zwei weitere x-Werte innerhalb $2\pi$, die sind aber größer als $\frac{3\pi}{2}$.

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