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NR 2

Zeigen Sie: (a) sinh(0) = 0, cosh(0) = 1:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \quad & | \quad x = 0 \\\\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0-e^{-0}) \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0-e^{0}) \quad & | \quad e^0 = 1 \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (1-1) \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot 0 \\ \sinh\ (0) &=& 0 \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \quad & | \quad x = 0 \\\\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0+e^{-0}) \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0+e^{0}) \quad & | \quad e^0 = 1 \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (1+1) \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot 2 \\ \cosh\ (0) &=& 1 \\ \hline \end{array}\)

(b) sinh(x) ist eine ungerade Funktion, cosh(x) ist eine gerade Funktion

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \text{ungerade Funktion: } f(-x) &=& -f(x) \\ \text{gerade Funktion: } f(-x) &=& f(x) \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \\\\ \sinh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}-e^{-(-x)}) \\ \sinh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}-e^{x}) \\ \sinh\ (-x) &=& -\frac12\cdot (e^{x}-e^{-x}) \\\\ \mathbf{\sinh\ (-x)} &\mathbf{=}& \mathbf{-\sinh\ (x)} \quad & | \quad \sinh\ (x) \text{ ist eine ungerade Funktion}\\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \\\\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}+e^{-(-x)}) \\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}+e^{x}) \\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{x}+e^{-x}) \\\\ \mathbf{\cosh\ (-x)} &\mathbf{=}& \mathbf{\cosh\ (x)} \quad & | \quad \cosh\ (x) \text{ ist eine gerade Funktion}\\ \hline \end{array} \)

(c) cosh² (x) – sinh² (x) = 1.

\(\small{ \begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \\ \sinh^2\ (x) &=& [\frac12\cdot (e^x-e^{-x})]^2 \\\\ \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \\ \cosh^2\ (x) &=& [\frac12\cdot (e^x+e^{-x})]^2 \\\\ && \cosh^2\ (x) – \sinh^2\ (x) \\ &=& [\frac12\cdot (e^x+e^{-x})]^2 - [\frac12\cdot (e^x-e^{-x})]^2 \\ &=& \frac14\cdot (e^x+e^{-x})^2 - \frac14\cdot (e^x-e^{-x})^2 \\ &=& \frac14 \cdot [~ (e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 ~] \quad & | \quad 1. \text{ und } 2. \text{ Binom } \\ &=& \frac14 \cdot [~ e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} - ( e^{2x} - 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} ) ~] \\ &=& \frac14 \cdot (~ e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} - e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} -e^{-2x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ e^{2x}- e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x}+ 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} -e^{-2x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ 0 + 4\cdot e^x\cdot e^{-x} +0 ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ 4\cdot e^x\cdot e^{-x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot 4\cdot e^x\cdot e^{-x} \\ &=& e^x\cdot e^{-x} \\ &=& e^{x-x} \\ &=& e^{0} \\ &=& 1 \\ \hline \end{array} } \)

NR 3 

Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen dritten Grades.

[Hinweis: Raten Sie zunächst eine Nullstelle x1 und führen Sie dann eine Polynomdivision durch (x – x1) durch.

Schauen Sie ggf. in der Mathe-Mediathek nach, wie man eine Polynomdivision durchführt.]

Ganzzahlige Lösungen ergeben sich, wenn vorhanden, wenn man alle Teiler des Absolutgliedes prüft.

(a) f(x) = x³ + x² – 9x – 9

Versuch mit allen Teilern von \( 9 = \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\}\)

\(\Rightarrow x =-1 \\ \begin{array}{|rcll|} \hline && (-1)^3+(-1)^2-9\cdot (-1) - 9 \\ & = & -1+1+9-9 \\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array}\)

Polynomdivision:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 + x^2 – 9x – 9 &:& (x-(-1)) \\ x^3 + x^2 – 9x – 9 &:& (x+1) = x^2-9 \\ \hline \end{array}\)

Berechnung der weiteren Nullstellen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^2 - 9 &=& 0 \\ x^2 &=& 9 \\ x &=& \pm 3 \\ \hline \end{array}\)

Die Nullstellen lauten :

\(x_1 = -3 \quad x_2 = -1 \quad x_3 = 3\)

(b) f(x) = x³ – 7x² + 7x – 1

Versuch mit allen Teilern von \(1 = \{\pm 1 \}\)

\(\Rightarrow x = 1\)

\(\begin{array}{|rcl|} \hline && 1^3-7\cdot 1^2 + 7\cdot 1 -1 \\ & = & 1-7+7-1\\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array} \)

Polynomdivision:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 – 7x^2 + 7x – 1 &:& (x-1) = x^2-6+1 \\ \hline \end{array}\)

Berechnung der weiteren Nullstellen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^2-6+1 &=& 0 \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 1} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{32} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{2\cdot 16} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm 4\cdot \sqrt{2} }{2} \\ x &=& 3\pm 2\cdot \sqrt{2}\\ \hline \end{array}\)

Die Nullstellen lauten :
\(x_1 = 3-2\sqrt{2} \quad x_2 = 1 \quad x_3 = 3+2\sqrt{2}\)

(c) f(x) = x³ + x² + 3x + 3

Versuch mit allen Teilern von \(3 = \{\pm 1, \pm 3 \}\)

\(\Rightarrow x =-1 \\ \begin{array}{|rcll|} \hline && (-1)^3+(-1)^2+3\cdot (-1) +3 \\ & = & -1+1-3+3 \\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array}\)

Polynomdivision:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 + x^2 + 3x + 3 &:& (x-(-1)) \\ x^3 + x^2 + 3x + 3 &:& (x+1) = x^2+3 \\ \hline \end{array}\)

Berechnung der weiteren Nullstellen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x^2+3 &=& 0 \\ x^2 &=& -3 \\ x &=& \pm \sqrt{-3} \\ x &=& \pm i \cdot \sqrt{3} \\ \hline \end{array}\)

Die Nullstellen lauten :

\(x_1 = -1 \quad x_2 = -i\cdot\sqrt{3} \quad x_3 = i\cdot\sqrt{3}\)