NR 2 Die Funktionen sinh(x) = 2 1 (ex – e -x ) und cosh(x) = 2 1 (ex + e-x ) heißen Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus. Zeigen Sie: (a) sinh(0) = 0, cosh(0) = 1, (b) sinh(x) ist eine ungerade Funktion, cosh(x) ist eine gerade Funktion, (c) cosh2 (x) – sinh2 (x) = 1.
NR 3 Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen dritten Grades. (a) f(x) = x3 + x2 – 9x – 9 (b) f(x) = x3 – 7x2 + 7x – 1 (c) f(x) = x3 + x2 + 3x + 3
[Hinweis: Raten Sie zunächst eine Nullstelle x1 und führen Sie dann eine Polynomdivision durch (x – x1) durch. Schauen Sie ggf. in der Mathe-Mediathek nach, wie man eine Polynomdivision durchführt.]
NR 2
Zeigen Sie: (a) sinh(0) = 0, cosh(0) = 1:
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)|x=0sinh (0)=12⋅(e0−e−0)sinh (0)=12⋅(e0−e0)|e0=1sinh (0)=12⋅(1−1)sinh (0)=12⋅0sinh (0)=0
cosh (x)=12⋅(ex+e−x)|x=0cosh (0)=12⋅(e0+e−0)cosh (0)=12⋅(e0+e0)|e0=1cosh (0)=12⋅(1+1)cosh (0)=12⋅2cosh (0)=1
(b) sinh(x) ist eine ungerade Funktion, cosh(x) ist eine gerade Funktion
ungerade Funktion: f(−x)=−f(x)gerade Funktion: f(−x)=f(x)
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)sinh (−x)=12⋅(e−x−e−(−x))sinh (−x)=12⋅(e−x−ex)sinh (−x)=−12⋅(ex−e−x)sinh (−x)=−sinh (x)|sinh (x) ist eine ungerade Funktion
cosh (x)=12⋅(ex+e−x)cosh (−x)=12⋅(e−x+e−(−x))cosh (−x)=12⋅(e−x+ex)cosh (−x)=12⋅(ex+e−x)cosh (−x)=cosh (x)|cosh (x) ist eine gerade Funktion
(c) cosh2 (x) – sinh2 (x) = 1.
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)sinh2 (x)=[12⋅(ex−e−x)]2cosh (x)=12⋅(ex+e−x)cosh2 (x)=[12⋅(ex+e−x)]2cosh2 (x)–sinh2 (x)=[12⋅(ex+e−x)]2−[12⋅(ex−e−x)]2=14⋅(ex+e−x)2−14⋅(ex−e−x)2=14⋅[ (ex+e−x)2−(ex−e−x)2 ]|1. und 2. Binom =14⋅[ e2x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−(e2x−2⋅ex⋅e−x+e−2x) ]=14⋅( e2x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−e2x+2⋅ex⋅e−x−e−2x )=14⋅( e2x−e2x+2⋅ex⋅e−x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−e−2x )=14⋅( 0+4⋅ex⋅e−x+0 )=14⋅( 4⋅ex⋅e−x )=14⋅4⋅ex⋅e−x=ex⋅e−x=ex−x=e0=1
NR 2
Zeigen Sie: (a) sinh(0) = 0, cosh(0) = 1:
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)|x=0sinh (0)=12⋅(e0−e−0)sinh (0)=12⋅(e0−e0)|e0=1sinh (0)=12⋅(1−1)sinh (0)=12⋅0sinh (0)=0
cosh (x)=12⋅(ex+e−x)|x=0cosh (0)=12⋅(e0+e−0)cosh (0)=12⋅(e0+e0)|e0=1cosh (0)=12⋅(1+1)cosh (0)=12⋅2cosh (0)=1
(b) sinh(x) ist eine ungerade Funktion, cosh(x) ist eine gerade Funktion
ungerade Funktion: f(−x)=−f(x)gerade Funktion: f(−x)=f(x)
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)sinh (−x)=12⋅(e−x−e−(−x))sinh (−x)=12⋅(e−x−ex)sinh (−x)=−12⋅(ex−e−x)sinh (−x)=−sinh (x)|sinh (x) ist eine ungerade Funktion
cosh (x)=12⋅(ex+e−x)cosh (−x)=12⋅(e−x+e−(−x))cosh (−x)=12⋅(e−x+ex)cosh (−x)=12⋅(ex+e−x)cosh (−x)=cosh (x)|cosh (x) ist eine gerade Funktion
(c) cosh2 (x) – sinh2 (x) = 1.
sinh (x)=12⋅(ex−e−x)sinh2 (x)=[12⋅(ex−e−x)]2cosh (x)=12⋅(ex+e−x)cosh2 (x)=[12⋅(ex+e−x)]2cosh2 (x)–sinh2 (x)=[12⋅(ex+e−x)]2−[12⋅(ex−e−x)]2=14⋅(ex+e−x)2−14⋅(ex−e−x)2=14⋅[ (ex+e−x)2−(ex−e−x)2 ]|1. und 2. Binom =14⋅[ e2x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−(e2x−2⋅ex⋅e−x+e−2x) ]=14⋅( e2x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−e2x+2⋅ex⋅e−x−e−2x )=14⋅( e2x−e2x+2⋅ex⋅e−x+2⋅ex⋅e−x+e−2x−e−2x )=14⋅( 0+4⋅ex⋅e−x+0 )=14⋅( 4⋅ex⋅e−x )=14⋅4⋅ex⋅e−x=ex⋅e−x=ex−x=e0=1
NR 3
Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen dritten Grades.
[Hinweis: Raten Sie zunächst eine Nullstelle x1 und führen Sie dann eine Polynomdivision durch (x – x1) durch.
Schauen Sie ggf. in der Mathe-Mediathek nach, wie man eine Polynomdivision durchführt.]
Ganzzahlige Lösungen ergeben sich, wenn vorhanden, wenn man alle Teiler des Absolutgliedes prüft.
(a) f(x) = x3 + x2 – 9x – 9
Versuch mit allen Teilern von 9={±1,±3,±9}
⇒x=−1(−1)3+(−1)2−9⋅(−1)−9=−1+1+9−9=0✓
Polynomdivision:
x3+x2–9x–9:(x−(−1))x3+x2–9x–9:(x+1)=x2−9
Berechnung der weiteren Nullstellen:
x2−9=0x2=9x=±3
Die Nullstellen lauten :
x1=−3x2=−1x3=3
(b) f(x) = x3 – 7x2 + 7x – 1
Versuch mit allen Teilern von 1={±1}
⇒x=1
13−7⋅12+7⋅1−1=1−7+7−1=0✓
Polynomdivision:
x3–7x2+7x–1:(x−1)=x2−6+1
Berechnung der weiteren Nullstellen:
x2−6+1=0x=6±√36−4⋅12x=6±√322x=6±√2⋅162x=6±4⋅√22x=3±2⋅√2
Die Nullstellen lauten :
x1=3−2√2x2=1x3=3+2√2
(c) f(x) = x3 + x2 + 3x + 3
Versuch mit allen Teilern von 3={±1,±3}
⇒x=−1(−1)3+(−1)2+3⋅(−1)+3=−1+1−3+3=0✓
Polynomdivision:
x3+x2+3x+3:(x−(−1))x3+x2+3x+3:(x+1)=x2+3
Berechnung der weiteren Nullstellen:
x2+3=0x2=−3x=±√−3x=±i⋅√3
Die Nullstellen lauten :
x1=−1x2=−i⋅√3x3=i⋅√3