Binomialsatz

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

${\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix}$

Hallo Der Bub,

ich ersetze ${\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix}$ durch das mir geläufigere ${\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\frac{n}{2}(n+1)$ 

Ab hier orientiere ich mich an einem Beitrag von Omi67 am 25.03.2018.

Induktionsanfang:

n=1      $linke\ Seite: n=1\\ rechte\ Seite: \frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$

n=2      $linke\ Seite:n=2\\ rechte \ Seite:\frac{n}{2}(n+1)=\frac{2}{2}(2+1)=3$

Induktionsannahme:

${\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\frac{n}{2}(n+1)$

Induktionsbehauptung:  Man ersetzt In der Annahme n durch n+1.

${\sum \limits_{i=1}^{n+1} i}=\frac{n+1}{2}(n+1+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$

Beweis des Induktionsschrittes:

$linke\ Seite:\\ {\sum \limits_{i=1}^{n+1} i}={\sum \limits_{i=1}^{n} i}+\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$

         $=\frac{1}{2} \cdot n(n+1)+\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\\ =\frac{1}{2}\cdot (n+1) (n+n+2)\\ =\frac{1}{2} \cdot (n+1)(2n+2)$      Wo steckt der Wurm?

$rechte\ Seite:$

         $=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$

Pause zum Nachrechnen.

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