Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Polynomfunkution
P(x) = 6x 3 + 13x 2 + x − 2 .
Hinweis: Verifizieren Sie, dass eine Nullstelle x1 = −2 lautet.
Sei nun Q : R → R die Polynomfunktion
Q(x) := (x 2 + 1)(x + 1)(x 2 − 1)(x − 2).
Geben Sie alle Nullstellen mit zugeh¨origer Ordnung sowie den Grad von Q an.
Wir betrachten die Polynomfunktion
R : R → R mit R(x) := x 10 − 15x 8 + 85x 6 − 225x 4 + 274x 2 − 120.
Nullstellen von R sind x1 = 1, x2 = √ 2, x3 = − √ 3, x4 = −2, x5 = √ 5.
Geben Sie alle weiteren Nullstellen an und begrunden Sie Ihre Antwort.
Kann mir jemand hierbei helfen?
+3976 Zur 1. Aufgabe:
Um zu verifizieren, dass x1=-2 eine Nullstelle ist, musst du nur -2 für x in die Funktion P einsetzen. Wenn Null 'rauskommt ist's eine Nullstelle.
Die anderen Nullstellen findest du, indem du per Polynomdivision den Grad reduzierst. Die durchzuführende Polynomdivision ist
( 6x3 + 13x2 + x − 2 ) : (x+2)
denn (x+2) wird Null wenn x=-2 ist. Da kommt ein Polynom mit Grad 2 heraus, dessen Nullstellen du per Lösungsformel bestimmen kannst.
Zur 2. Aufgabe:
Die Nullstellen von Q ergeben sich durch den Merksatz "Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist". Für die Nullstellen reicht's also, die Faktoren einzeln zu betrachten. Die Ordnung dazu ist dabei die Anzahl, wie oft du die Nullstelle findest: zB. ist hier x=-1 eine Nullstelle des zweiten Faktors und des dritten Faktors. Daher ist x=-1 eine Nullstelle zweiter Ordnung.
Der Grad ist die größte x-Potenz, die nach Auflösen der Klammern vorkommt. Er ergibt sich durch Addition des Grads jeder Klammer, hier also 2+1+2+1=6.
Zur 3. Aufgabe:
Die ist ein bisschen schwieriger, deswegen lös' ich sie dir ganz:
In R kommen nur gerade x-Potenzen vor. Das ist typischerweise ein Merkmal dafür, dass die Nullstellen per Substitution (u=x2) gefunden werden müssen/können. Substituiert man hier wie schon erwähnt u=x2, so erhält man u5-15u4+85u3-225u2+274u-120. Dieses Polynom hat maximal 5 verschiedene Nullstellen, denn der Grad eines Polynoms ist stets eine Obergrenze für die Nullstellenanzahl.
So findet man dann ja Lösungen für u, die Lösungen für x erhält man durch Rücksubstitution, also wieder mit der Gleichung u=x2. Dort werden die u-Werte eingesetzt und wenn möglich die Wurzel gezogen. Dabei ergeben sich dann für positive u-Werte zwei Lösungen, nämlich einmal die positive Wurzel & einmal die negative. So erkennt man: Die Lösungen für x sind immer \(x=\pm \sqrt u\) für die u-Werte, die halt vorher herausgekommen sind.
Daher ist, wenn x=1 eine Lösung ist, auch x=-1 eine Lösung. Und, wenn x=√2 eine Lösung ist, ist auch x=-√2 eine Lösung. Und so weiter für die anderen.
Ich hoffe, ich konnte helfen. Wenn noch was nicht klappt frag' gern nochmal nach!
