+0  
 
0
258
7
avatar+51 

Hallo sitze gerade an dieser Aufgabe und bin gerade etwas überfordert, ich hoffe jeman kann mir helfen. Danke im Vorraus!!

 

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis ( bezüglich des Standardskalarproduktes ) des Untervektor-
raums U des R5 der durch folgende linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird.

(1) (1) (1) (2)

(0) (0) (1) (1)

(0) (1) (1) (0)

(0) (0) (0) (2)

(0) (0) (2) (3)

 06.03.2021
 #1
avatar+2919 
+2

Hab grad nicht wirklich Zeit, ich mach's morgen. Ich möcht' aber schonmal das Stichwort "Gram-Schmidt-Verfahren" in den Raum werfen, das ist auch auf Wiki ganz gut beschrieben: https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

 

Die gegebenen Vektoren sind in der Wiki-Schreibweise die wi. Wendet man das Gram-Schmidt-Verfahren an, so erhält man stets ein Orthornormalsystem. Da die Vektoren eine Basis bilden, liefert Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis.

 06.03.2021
 #2
avatar+51 
+1

Ah, danke schonmal im vorraus!
Das mit dem Gram-schmidt-verfahren habe ich mir gedacht, aber ich weiß nicht wie ich weiter machen soll wenn ich die ersten beiden Vektoren umgeformt habe indecision

 07.03.2021
 #3
avatar+2919 
+2

Im Gram-Schmidt-Verfahren geht's immer gleich weiter - in jedem Schritt werden die bisher gefundenen Vektoren mit dem passenden Vorfaktor abgezogen, dann wird normiert und weiter geht's mit dem nächsten Vektor - wieder die vorherigen mit passendem Vorfaktor abziehen, normieren, nächster Vektor etc.

 

Hier sieht's so aus:

 

(Handschriftlich, weil Vektoren Schreiben hier schlecht geht - ich hoff man kann alles lesen :D )

Probolobo  07.03.2021
 #4
avatar+51 
+1

Danke, kannst du mir vielleicht nochmal den Teil bei v'4 ab dem Teil mit 7/5 genauer erklären, da verstehe ich nicht genau wie ich da zu rechnen habe.
Aber trozdem danke bist ein Lebensretter !! smiley

MarcAndre15  07.03.2021
 #5
avatar+2919 
+2

Da findet ja laut Gram-Schmidt das Skalarprodukt statt. Technisch gesehen kann das auch irgendwas "komisches" sein, wenn nichts dabeisteht geht's aber normalerweise um das klassische euklidische Skalarprodukt, wie man's aus der Schule kennt. 

Hier ist dann die Summe der Produkte der einzelnen Einträge. Ich hab' die beiden Faktoren 1/Wurzel(5) zu 1/5 zusammengefasst und das Skalarprodukt von den Vektoren (2,1,0,2,3) und (0,1,0,0,2) (als Spalte, du weisst wies gemeint ist ;) ) berechnet durch 

 

2*0+1*1+0*0+2*0+2*3=0+1+0+0+6=7

 

Zusammen mit dem Faktor 1/5 gibt's die 7/5.

 

In der Zeile darunter hab' ich dann die Vektoren mit den in grün berechneten Faktoren multipliziert, 0*v2 lass ich gleich weg. Dann werden die Vektoren voneinander abgezogen, ganz "normal" eigentlich.

 

Frag' gern nochmal nach wenn noch was unklar ist! :)

Probolobo  07.03.2021
 #6
avatar+51 
0

Okay, den Teil habe ich verstanden jetzt stelle ich mir nurch noch die Frage woher die 1/Wurzel(20) kommt? und warum in der Vorletzten Zeile bei(0/-0,4/0/2/0,2) die 2 wegfällt.

MarcAndre15  07.03.2021
bearbeitet von MarcAndre15  07.03.2021
 #7
avatar+2919 
+2

Speziell die Frage, warum die 2 wegfällt, ist sehr berechtigt - die sollte eigentlich auch nicht wegfallen, das ist falsch so^^

Faktoren 1/Wurzel(irgendwas) sind meistens zum normieren da - da wird durch den Betrag der Vektoren geteilt, damit die Vektoren am Ende den Betrag 1 haben. Soll ja eine OrthoNORMALbasis sein, nicht nur eine OrthoGONALbasis.

 

So ist der letzte Part korrekt:

 

Probolobo  07.03.2021

18 Benutzer online

avatar