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Bestimmen Sie die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume

von  \( \mathbb{F}_{p}^{n} \). Gehen Sie dabei wie folgt vor:

(i)  Überlegen Sie sich, welche der Vektoren aus  \( \mathbb{F}_{p}^{n} \)  als Basis eines 1-dimensionalen Untervek-

torraumes von  \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) auftreten. Wie viele Vektoren sind das?

(ii)  Wie viele verschiedene Basen hat ein fixer 1-dimensionaler Untervektorraum von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) ?

(iii)  Berechnen Sie nun die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) .

 21.12.2020
 #1
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Im \(V := \mathbb{F}_p^n\) gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren. In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.

Insgesamt gibt es daher \(\frac{p^n-1}{p-1}\) Unterräume.

 21.12.2020
 #2
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ich habe es nicht richtig verstanden weil hier (i) , (ii). (iii). gibt

Gast 21.12.2020
 #3
avatar+1810 
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(i) Im \(\mathbb{F}_p^n\) gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren.

(ii) In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.

(iii) Insgesamt gibt es daher \(\frac{p^n-1}{p-1}\) Unterräume.

Probolobo  21.12.2020
 #4
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sehr gut vielen dank

Gast 21.12.2020

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