Bestimmen Sie die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume
von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \). Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(i) Überlegen Sie sich, welche der Vektoren aus \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) als Basis eines 1-dimensionalen Untervek-
torraumes von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) auftreten. Wie viele Vektoren sind das?
(ii) Wie viele verschiedene Basen hat ein fixer 1-dimensionaler Untervektorraum von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) ?
(iii) Berechnen Sie nun die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume von \( \mathbb{F}_{p}^{n} \) .
+3976 Im \(V := \mathbb{F}_p^n\) gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren. In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.
Insgesamt gibt es daher \(\frac{p^n-1}{p-1}\) Unterräume.
+3976 (i) Im \(\mathbb{F}_p^n\) gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren.
(ii) In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.
(iii) Insgesamt gibt es daher \(\frac{p^n-1}{p-1}\) Unterräume.
