Bestimmen Sie die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume
von Fnp. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(i) Überlegen Sie sich, welche der Vektoren aus Fnp als Basis eines 1-dimensionalen Untervek-
torraumes von Fnp auftreten. Wie viele Vektoren sind das?
(ii) Wie viele verschiedene Basen hat ein fixer 1-dimensionaler Untervektorraum von Fnp ?
(iii) Berechnen Sie nun die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume von Fnp .
+3976 Im V:=Fnp gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren. In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.
Insgesamt gibt es daher pn−1p−1 Unterräume.
+3976 (i) Im Fnp gibt es p^n Vektoren. Alle außer der Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf, das sind also p^n-1 Vektoren.
(ii) In einem eindimensionalen Unterraum sind alle Vielfachen eines Basisvektors enthalten. Davon sind alle außer dem Nullvektor als Basisvektor geeignet. Da es nur p Vielfache gibt, eignen sich also p-1 davon als Basisvektor.
(iii) Insgesamt gibt es daher pn−1p−1 Unterräume.
