Überprüfen Sie, ob die angegebenen Vektoren aus dem R3 eine Basis des selbigen bilden

Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Eine Basis des R³ ist eine Menge aus drei linear unabhängigen Vektoren. Drei Stück sind's schonmal, die lineare Unabhängigkeit ist zu prüfen.

Falls dir die Determinante einer Matrix nicht bekannt ist, überspring' den nächsten Absatz ;)

Das würde am einfachsten gehen, indem man die Determinante der Matrix bestehend aus diesen Vektoren (als Spalten) bestimmt - ist sie null, sind die Vektoren lin. abhängig, ansonsten sind sie unabhängig.

Die Determinante hier ist (Regel von Sarrus)

4*2*1 + 0*(-2)*(-3) +2*1*(-2) -(-3)*2*(-2) -0*2*1 -4*1*(-2) = 8 + 0 -4 -12 +0 +8 = 0

Daher sind die Vektoren linear abhängig und bilden somit keine Basis.

Falls dir die Determinante unbekannt ist und der Begriff der Basis grad quasi frisch gelernt wurde, ist folgender Weg geeignet:

Linear unabhängig sind die Vektoren, wenn die Nulllösung die einzige Lösung für das Gleichungssystem

a₁*v₁ + a₂*v₂ + a₃*v₃ = 0 (Nullvektor)

ist.

Dieses Gleichungssystem kannst du beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Die Nulllösung ist immer eine Lösung, gibt es aber auch eine andere, so sind die Vektoren linear abhängig und damit keine Basis. Man sieht hier:

v₁ + v₂ +2v₃ = 0

Es gibt also eine Lösung für dieses System, die nicht die Nulllösung ist. Daher sind die Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis.

Zu guter letzt noch ein Weg, der nicht so gut funktioniert, der aber auch möglich ist:
Eine Basis muss ein minimales Erzeugendensystem sein. Minimal wäre unser System, weil's drei Vektoren sind. Man könnte hier aber auch versuchen zu zeigen, dass beispielsweise der Vektor (2, 2, 2)^T nicht von den gegebenen Vektoren erzeugt wird. Daher sind die Vektoren kein Erzeugendensystem und somit keine Basis.

Das Problem hierbei ist, dass es oft nicht so leicht ist, einen Vektor zu sehen, der nicht erzeugt wird. Deswegen sind die beiden oberen Verfahren zu empfehlen.