ich brauche hilfe ich habe schon was rausgesucht aber hab keine ahnung wie es weitergehen solll
Aufgabe Bernoullikette und Binomialverteilung
Aufgabenstellung:
1) Geben Sie die Definition einer Bernoullikette an und erläutern Sie diese anhand einiger Beispiele.
2) Sei X eine binomial verteilte Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer aus n Versuchen kann dann folgendermaßen berechnet werden:
P(X=k)=()∙ ∙(1−)−
Erläutern Sie die Formel anhand eines selbstgewählten Beispiels.
3) Stellen Sie die Eigenschaften von Binomialverteilungen anhand von Histogrammen dar für
a) verschiedene p bei gleichem n
b) verschiedene n bei gleichem p
4) Geben Sie die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz der Binomialverteilung an und berechnen Sie diese für Ihr obiges Beispiel.
5) Erläutern Sie den Begriff „kumulierte Binomialverteilung“ und geben Sie ein Beispiel aus dem Alltag, in welchem die kumulierte Wahrscheinlichkeit eine Rolle spielt.
Meine rechnungen bis jetzt :
Ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette ist das mehrfache Werfen eines Würfels. Allerdings interessiert dabei nicht jede einzelne Augenzahl, sondern z.B. nur "6" oder "nicht 6". Du kannst auch jede andere Zahl nehmen. Wichtig ist nur, dass es zwei Ausgänge sind.
Eine 6 würfelt man mit der Wahrscheinlichkeit p=1/6. Die Wahrscheinlichkeit für "keine 6" ist 1-p=1-1/6=5/6.
Wenn man jetzt fünfmal würfelt, kann man ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer ist.
P(X=2)=(52)⋅(16)2⋅(56)3P(X=2)=(25)⋅(61)2⋅(65)3
Der erste Faktor ist der Binomialkoeffizient, der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt 2 Treffer und 3 Nieten bei 5 Versuchen zu haben. 5 über 2 = (5*4)/(2*1)=10.
TTNNNTNTNNTNNTNTNNNTNTTNN
NTNTNNTNNTNNTTNNNTNTNNNTT
Die anderen beiden Faktoren entsprechen den multiplizierten Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.
Dabei steht der mittlere Faktor für zwei Treffer und der dritte für drei Nieten.
+3976 Für die 1) willst du ja erstmal die Definition - die wär zB. bei Wiki zu finden: Als "Bernoulli-Kette" bezeichnet man das mehrfache hintereinanderausführen eines Bernoulli-Experiments. Ein Beispiel hast du schon genannt, nämlich den Würfel mit nur 6 oder nicht-6. Auch ziehen aus einer Urne mit zwei verschiedenen Kugel-Farben darin ist geeignet, wenn man mit Zurücklegen zieht. Gängige Beispiele aus dem "echten Leben" sind so Erfahrungswert-Sachen, zB. durchschnittlich 5% beschädigte Schrauben in der Produktion einer Schraubenfirma, wir entnehmen 50 und zählen die kaputten oderso.
Zu 2):
Stellt man sich das Baumdiagramm zum n-fachen Durchführen des Experiments vor, so hat man bei jeder Stufe immer die gleichen Wahrscheinlichkeiten und nur 2 Äste (Treffer mit Wskt. p /Niete mit 1-p). Jeder Ast zu einer Trefferanzahl k hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Die Anzahl der Äste mit k Treffern ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, die k Treffer in den n Versuchan anzuordnen - der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\). Daher ist
\(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)
Das Erläutern der Formel am Beispiel kann man durchaus so stehen lassen, wie du es gemacht hast - gute Arbeit!
Die 3) mach ich hier mal nicht, Histogramme malen ist ja nicht so schwer - mach' das am besten für eher kleine n, zB. n=3,4,5,10 oderso, sonst werden die Histogramme ziemlich groß. Was du sehen sollst: a): Es ergibt sich halt so ein "Hügel", der mit größer werdendem p nach rechts wandert. Je größer die Trefferwahrscheinlichkeit, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, mehr Treffer zu erzielen. In b): Das Erhöhen von n zieht die Kurve sozusagen auseinander, es wird alles flacher.
4): Formeln für Erwartungswert und Varianz findest du in der Abi-Merkhilfe, das Einsetzen der Zahlen schaffst du! ;)
5): "Kumuliert" bedeutet hier in einfachen Worten: Wir zählen einfach alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten k zusammen und erhalten so die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer:
\(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=k) = P(X \leq k)\)
Die könnte uns im Alltag vor allem bei den oben angesprochenen Erfahrungswert-Sachen interessieren. Betrachten wir beispielsweise die Schraubenfirma von oben. Wir haben ja 50 Schrauben entnommen, um sie zu prüfen - dann wird ja wohl irgendeine Grenze vorgegeben sein, wann man die Produktion für ok hält, zB. bei bis zu 4 kaputten Schrauben. Bestimmen wir dann mit p=10% statt 5% die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 kaputte Schrauben, so hätten wir die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der wir die Schrauben für ok halten, obwohl tatsächlich doppelt so viele kaputt sind wie geplant. Diese Wahrscheinlichkeit ist für die Firma relevant - da man ja nicht das schlechte Produkt auf den Markt bringen möchte, sollte sie relativ klein sein (die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler, nicht die Firma).
Lange Wall-Of-Text - Ich hoff' das hilft, frag' gern noch nach wenn was unklar ist!
