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avatar+51 

Lieber Probolobo,

ich glaube ich bräuchte mal wieder dein Hilfe wink Danke dir schonmal im Vorraus!!

 08.03.2021
 #1
avatar+3730 
+2

Ahja auf geht's! :D

 

Zu a): "regulär" ist eine Matrix, wenn sie invertierbar ist. Sie ist invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist (gibt noch ein Paar mehr Kriterien, aber das ist das praktischste). Wir berechnen die Determinante dieser Matrix mit der Regel von Sarrus (oder "Jägerzaunregel"):

der(A) = 3*(-1)*alpha + 2*2*3 + 0*(-2)*(-4) -2*(-1)*(-4) -2*(-2)*alpha -3*3*0 = 

-3alpha +12 +0 -8 +4alpha -0 = alpha +4

 

Man sieht: Ist alpha=-4, so ist det(A)=0 und die Matrix singulär. Für alle anderen alpha, also für alle \(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{-4\}\), ist die Matrix regulär. 

 

Zur b) : Ist eine Matrix regulär, so ist die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung bijektiv, d.h. jedes Gleichungssystem der Form Ax=b ist eindeutig (!) lösbar. Das Gleichungssystem Ax=0 hat immer den Nullvektor als Lösung, bei einer singulären Matrix kommen noch andere Lösungen hinzu. Für unsere reguläre Matrix ist die Lösung aber eindeutig, d.h. x=0 (Nullvektor) ist die einizge Lösung.

 

Zu c): Wie schon erwähnt ist für eine reguläre Matrix das System Ax=b stets eindeutig Lösbar. Daher müssen wir schonmal alpha=-4 wählen, damit die Matrix singulär ist. Dann versuchen wir einfach mal, das Gleichungssystem zu Lösen (beispielsweise mit dem Gauß-Algoritmus) und werden wohl irgendwo feststellen, dass manche Werte von b zu einem Widerspruch führen. Das gibt's wieder handschriftlich:

 

 

Man sieht also: Mit \(\alpha = -4 \ \& \ \beta \neq -2\) ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

Aufgabe d) kommt gleich, auch als Bild ;)

 08.03.2021
 #2
avatar+3730 
+2

Zur d) wissen wir durch unsere Überlegungen bis jetzt immerhin schon, dass es eine Lösung gibt, die auch eindeutig ist (weil die Matrix für alpha=2 regulär ist). Wir lösen wieder per Gauß:

 

Probolobo  08.03.2021
 #3
avatar+51 
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Wahrscheinlich habe ich das nur Irgendwo in der Vorlesung verpennt, aber wie wird aus alpha=-4 -> det(A)=0?

MarcAndre15  08.03.2021
 #4
avatar+3730 
+2

Ich hab doch darüber det(A) in Abhängigkeit von alpha berechnet - es ist det(A)=alpha+4. Das ist offenbar 0, wenn alpha=-4 ist.

Probolobo  08.03.2021
 #5
avatar+51 
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Ich könnte mich Irren, aber kann es sein das du bei der d) in der 3. Zeile vergessen hast aus der 10 -> 11 zu machen?

MarcAndre15  09.03.2021
 #6
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+1

Ohje, ja, das ist richtig. Das betont eigentlich ganz gut, wo im Gauß-Algorithmus die Schwierigkeit liegt - mit echten Zahlen rechnen ist einfach tricky :D

 

Dann wird die letzte Zeile ganz am Ende zu 6x3 = 12 - das ist ja auch viel angenehmer. Die Lösung erhältst du trotzdem durch Einsetzen, wie im Bild gezeigt - das schaffst du! Am Ende kommt raus x=(3;-1;2). 

Probolobo  09.03.2021

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