Berechnen Sie alle Stammfunktionen von 4⋅x⋅sin(2⋅x). Multiplikationen mit * notieren!

Stammfunktion von 4xsin(2x)

Hallo Gast!

∫ 4xsin(2x)dx

Linearität anwenden:

=4∫xsin(2x)dx

Wir lösen nun:

∫xsin(2x)dx

Partiell integrieren: ∫f′g=fg−∫fg′

f′=sin(2x),g=x

↓ Rechenweg↓ Rechenweg

f=−cos(2x)2,g′=1:

=−xcos(2x)2−∫−cos(2x)2dx

Wir lösen nun:

∫−cos(2x)2dx

Substituiere u=2x ⟶ dudx=2 (Rechenweg) ⟶ dx=12du:

=−14∫cos(u)du

Wir lösen nun:

∫cos(u)du

Dies ist ein Standardintegral:

=sin(u)

Gelöste Integrale einsetzen:

−14∫cos(u)du

=−sin(u)4

Rücksubstitution von u=2x:

=−sin(2x)4

Gelöste Integrale einsetzen:

−xcos(2x)2−∫−cos(2x)2dx

=sin(2x)4−xcos(2x)2

Gelöste Integrale einsetzen:

4∫xsin(2x)dx

=sin(2x)−2xcos(2x)

Die Aufgabe ist gelöst:

∫4xsin(2x)dx

=sin(2x)−2xcos(2x)+C

Berechnete Stammfunktion:

∫f(x)dx=F(x)=

sin(2x)-2xcos(2x) + C

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