Berechnen Sie alle Stammfunktionen von 4⋅x⋅sin(2⋅x).
Multiplikationen mit * notieren!
Stammfunktion von 4xsin(2x)
Hallo Gast!
∫ 4xsin(2x)dx
Linearität anwenden:
=4∫xsin(2x)dx
Wir lösen nun:
∫xsin(2x)dx
Partiell integrieren: ∫f′g=fg−∫fg′
f′=sin(2x),g=x
↓ Rechenweg↓ Rechenweg
f=−cos(2x)2,g′=1:
=−xcos(2x)2−∫−cos(2x)2dx
Wir lösen nun:
∫−cos(2x)2dx
Substituiere u=2x ⟶ dudx=2 (Rechenweg) ⟶ dx=12du:
=−14∫cos(u)du
Wir lösen nun:
∫cos(u)du
Dies ist ein Standardintegral:
=sin(u)
Gelöste Integrale einsetzen:
−14∫cos(u)du
=−sin(u)4
Rücksubstitution von u=2x:
=−sin(2x)4
Gelöste Integrale einsetzen:
−xcos(2x)2−∫−cos(2x)2dx
=sin(2x)4−xcos(2x)2
Gelöste Integrale einsetzen:
4∫xsin(2x)dx
=sin(2x)−2xcos(2x)
Die Aufgabe ist gelöst:
∫4xsin(2x)dx
=sin(2x)−2xcos(2x)+C
Berechnete Stammfunktion:
∫f(x)dx=F(x)=
sin(2x)-2xcos(2x) + C
!