Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung: z^2=-1+j {z=-sqrt(j-1), z=sqrt(j-1)} ist als Lösung nicht richtig meint der Lehrer es ist zu einfach. Wie mache ich das sonst noch?
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung: z^2=-1+j {z=-sqrt(j-1), z=sqrt(j-1)} ist als Lösung nicht richtig meint der Lehrer es ist zu einfach. Wie mache ich das sonst noch ?
k = 0,1,2, ... , n-1
z=a+b⋅ir=√a2+b2 z2=−1+ja=−1 und b=1r=√(−12)+12r=√2Wir erhalten f\"ur den Betrag r=√2√z=√√2⋅(cos(φ+2kπ2)+i⋅sin(φ+2kπ2))k=0,1
\boxed{\ \varphi = arg(z) = \arctan{(\frac{b}{a})}\ } \qquad \varphi = \arctan{(\frac{1}{-1})} = -\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4}\cdot \pi\\\\ \small{\text{1. L\"osung ( k=0 ):}}\\ \sqrt{z} = \sqrt{r}\left[ \cos( \frac{\varphi}{2}) + i\cdot \sin ({\frac{\varphi}{2}) } \right]\\\\ \sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{2} }\left[ \cos( \frac{\frac{3}{4}\cdot \pi}{2}) + i\cdot \sin ({\frac{\frac{3}{4}\cdot \pi}{2}) } \right]\\\\ \sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{2} }\left[ \cos( \frac{3}{8}\cdot \pi}) + i\cdot \sin ({\frac{3}{8}\cdot \pi}) } \right]\\\\ \boxed{\sqrt{z} = 0.45508986 + i\cdot 1.098684113}
\small{\text{2. L\"osung ( k=1 ):}}\\ \sqrt{z} = \sqrt{r}\left[ \cos( \frac{\varphi+2\pi}{2}) + i\cdot \sin ({\frac{\varphi+2\pi}{2}) } \right]\\\\ \sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{2} }\left[ \cos( \frac{\frac{3}{4}\cdot \pi+2\pi}{2}) + i\cdot \sin ({\frac{\frac{3}{4}\cdot \pi+2\pi}{2}) } \right]\\\\ \sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{2} }\left[ \cos( \frac{11}{8}\cdot \pi}) + i\cdot \sin ({\frac{11}{8}\cdot \pi}) } \right]\\\\ \boxed{\sqrt{z} = -0.45508986 - i\cdot 1.098684113}