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Aufgabe 1 . Untersuchen Sie , für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Reihe
\(
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}
\)
konvergiert. Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Untersuchen Sie , für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Reihe
\(
\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{3^{n}-2^{n}}
\)
konvergiert. Begründen Sie Ihre Antwort.

 17.12.2022
 #1
avatar+14243 
+1

Hallo Gast!

 

\(n\in\mathbb R\)

 

1.   \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\ \dfrac{x^{n}}{n}\)

Die Reihe konvergiert zu 0    bei    0 < x \(\leq\) 1

 

2.  \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \ \dfrac{x^{n}}{3^n-2^n} \)

Die Reihe konvergiert zu 0    bei    0 < x < 3.

 

Begründen kann ich die Antworten leider nicht.

laugh  !

 18.12.2022
bearbeitet von asinus  18.12.2022
bearbeitet von asinus  19.12.2022
bearbeitet von asinus  20.12.2022
bearbeitet von asinus  20.12.2022
bearbeitet von asinus  22.12.2022
 #2
avatar+3976 
+1

Wo hast du denn die Antworten her?

 

Die erste Reihe konvergiert für x>1 gar nicht, weil die Folge der Summanden dann keine Nullfolge ist. Für x=1 ist sie genau die harmonische Reihe, die divergiert auch.

Für 0

Für -1

Für x<-1 divergiert die Reihe, weil die Folge der Summanden keine Nullfolge ist.

 

Die zweite Reihe divergiert, wenn x betragsmäßig größer oder gleich 3 ist, weil die Folge der Summanden dann keine Nullfolge ist.

Für -3

 

Für die Kriterien schau hier https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium und bei den verlinkten Seiten. Ich hoff' das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist - Reihenkonvergenz ist ein komplexes Thema! :)

Probolobo  18.12.2022
 #3
avatar+3976 
+1

Irgendwie hat's da einen großen Teil meiner Antwort abgeschnitten. Hier im Bild steht alles:

 

Probolobo  18.12.2022
 #4
avatar+14243 
+1

Wo hast du denn die Antworten her?

Ich habe die Funktionen \(f(n)=\frac{x^n}{n},\ g(n)=\frac{x^n}{3^n-2^n}\) grafisch dargestellt und dabei für x nacheinander rationale Zahlen eingesetzt.

laugh  !

asinus  19.12.2022
bearbeitet von asinus  19.12.2022
bearbeitet von asinus  20.12.2022
 #5
avatar+3976 
+1

Ah, aber dass die Funktionen der Summanden konvergieren reicht noch nicht für Reihenkonvergenz. 

Betrachte als Gegenbeispiel die Reihe, bei der jeder Summand 1 ist. Da konvergiert die Folge der Summanden auch (offenbar gegen 1), aber unendlich oft 1 addieren führt zum Ergebnis unendlich.

 

Damit eine Reihe überhaupt die Chance hat zu konvergieren, muss die Folge ihrer Summanden eine Nullfolge sein. Es ist aber nicht jede Nullfolge geeignet, man möge "harmonische Reihe" für ein Gegenbeispiel googlen.

Probolobo  21.12.2022
 #6
avatar+14243 
0

Da gibt es einiges, über das ich noch gründlich nachdenken muss. Dafür Danke!

laugh  !

asinus  22.12.2022
 #7
avatar+3976 
+1

Gerne, auch du bist herzlich eingeladen, nachzufragen, wenn's noch was gibt! :D
 

Frohe Feiertage derweil, man sieht/liest sich im neuen Jahr wieder :)

Probolobo  22.12.2022

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