Aufgabe 1 Listen Sie alle Elemente der Menge

Aufgabe 1 Listen Sie alle Elemente der Menge $\left\{A \subseteq \mathbb{N} \mid \sum \limits_{a \in A} a=2\right\}$ auf. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. (Zur Erinnerung: Wir fassen auch 0 als natürliche Zahl auf.)
Aufgabe 2
Seien $X$ und $Y$ Mengen und sei $f: X \rightarrow Y$ eine Abbildung. Seien zudem $A$ und $B$ Teilmengen von $X$. Zeigen Sie, dass die Gleichung $f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$ im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe 3 :
Seien $G$ und $H$ Gruppen und sei $f: G \rightarrow H$ eine bijektive Abbildung mit der Eigenschaft, dass $f\left(g g^{\prime}\right)=f(g) f\left(g^{\prime}\right)$ für alle $g, g^{\prime} \in G$ gilt. Zeigen Sie, dass die inverse Abbildung $f^{-1}: H \rightarrow G$ diese Eigenschaft auch besitzt, also dass $f^{-1}\left(h h^{\prime}\right)=f^{-1}(h) f^{-1}\left(h^{\prime}\right)$ für alle $h, h^{\prime} \in H$ gilt.
Aufgabe 4 Ist die Abbildung $\epsilon_{2}: \mathbb{R}[x] \mapsto \mathbb{R}, f \mapsto f(2)$ linear?
Aufgabe 5 Wir betrachten die Vektoren $v_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 8 \\ 3\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 14 \\ 4\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} .$ Finden Sie $\lambda, \mu, \eta \in \mathbb{R}$ mit $\lambda v_{1}+\mu v_{2}+\eta v_{3}=0$
wobei mindestens einer der drei Skalare ungleich Null sein muss.
Aufgabe 6 :
Wir betrachten die Teilmenge $D_{2}$ von $\mathbb{R}^{2 \times 2}$, die aus denjenigen Matrizen besteht, die genau einen Eintrag ungleich Null haben. Existieren $A, B \in D_{2}$ mit $\operatorname{rk}(A B)=\min (\operatorname{rk}(A), \operatorname{rk}(B)) ?$ Existieren $A, B \in D_{2} \operatorname{mit} \operatorname{rk}(A B)<\min (\operatorname{rk}(A), \operatorname{rk}(B)) ?$
Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Dimension des Kernes der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -2 & 5 & 4 & 0\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$
Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{F}_{3}^{4 \times 4}$. Ist die Matrix $A$ invertierbar?
Aufgabe 9 Sei $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Bestimmen Sie $A^{2021}$. Hinweis: Prüfen Sie zuerst, dass $\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ist.
Aufgabe 10 :
Wir betrachten das Skalarprodukt $\left.\langle u, v\rangle=u^{T}\left(\begin{array}{c}62 \\ 2\end{array}\right]\right) v$ auf $\mathbb{R}^{2}$. (Sie dürfen also verwenden, dass das ein Skalarprodukt ist.) Für welche reelle Zahlen $a$ ist $\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu ( $\left.\begin{array}{c}a \\ 1\end{array}\right)$ ?