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Von einer rechteckigen Marmorplatte ist eine Ecke abgebrochen(vgl. Abbild.).Aus der fünfeckigen Restplatte soll durch Schnitte parallel zu den SEiten des ursprünglichen Rechtecks, eine möglichst große rechteckige Platte herausgeschnitten werden. Welche Maße hat diese Platte, und wie viel Prozent der ursprünglichen Plattenfläche nimmt sie ein?
+301 Bevor jemand meinen ganzen Kram liest: obwohl ich meinen Ansatz bis jetzt für richtig halte, ist meine Lösung mit Sicherheit falsch, wie man am Ende meines Rechenwegs sieht. Irgendwo muss ich einen Bock geschossen haben.
Also meiner Meinung nach liegt die Lösung in dem Winkel der Schnittkannte. Wenn man das abgeschnittene Stück mit Strichellinien ergänzen würde, ergibt sich ja ein rechtwinkliges Dreieck.
Der Sinus des Winkels dieses Dreiecks ergibt sich aus der Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse.
y und x sind wie in Deinem Schaubild die Länge und Breite des neuen Rechtecks.
Wenn ich also von der ursprünglichen Breite des unbeschädigten Rechtecks (60cm) y abziehe, erhalte ich die Seite b des von mir dargestellten Dreiecks.
Wenn ich von der ursprünglichen Länge des unbeschädigten Rechtecks (85cm) x abziehe, erhalte ich die Seite a des von mir dargestellten Dreiecks.
Die Seite C ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
\(c^2=a^2+b^2\)
\(c^2=(60-y)^2+(85-x)^2\)
Ich habe nun einen Winkel eingezeichnet. Der Sinus dieses Winkels muss
\(sin(Winkel)=\frac{10}{\sqrt{25^2+10^2}}=\frac{10}{\sqrt{625+100}}=\frac{10}{\sqrt{725}}=\frac{10}{\sqrt{25*29}}=\frac{10}{5*\sqrt{29}}=\frac{2}{\sqrt{29}}\)
sein.
Der Winkel selbst beträgt somit etwa 21,8°, dass ist aber für die weitere Berechnung nicht so wichtig. Wichtig ist der Sinuswert.
Der Sinuswert darf sich nicht verändern, denn egal, wo ich zu schneiden anfange: der Abbruchwinkel bestimmt, wieviel Länge oder Breite ich gewinne bzw. verliere, wenn ich mich an der Abbruchkannte hin und her bewege.
Somit kann ich eine Beziehung zwischen x und y herstellen:
\(\frac{60-y}{\sqrt{(85-x)^2+(60-y)^2}}=\frac{2}{\sqrt{29}}\)
Diese Gleichung stelle ich aus Gründen der Praktikabilität erstmal auf den Kopf...
\(\frac{\sqrt{(85-x)^2+(60-y)^2}}{60-y}=\frac{\sqrt{29}}{2}\)
und dann quadriere ich:
\(\frac{(85-x)^2+(60-y)^2}{(60-y)^2}=\frac{29}{4}\space\space\space\space\space|*(60-y)^2\)
\((85-x)^2+(60-y)^2=\frac{29*(60-y)^2}{4}\space\space\space\space\space|-(60-y)^2\)
\((85-x)^2=\frac{29*(60-y)^2}{4}-(60-y)^2\)
\((85-x)^2=\frac{29*(60-y)^2}{4}-\frac{4*(60-y)^2}{4}\)
\((85-x)^2=\frac{25*(60-y)^2}{4}\)
\((85-x)^2=\frac{25}{4}*(60-y)^2\)
So umgeformt, ziehe ich nun wieder die Wurzel:
\(85-x=\frac{5}{2}*(60-y)\)
\(85-x=150-\frac{5}{2}y)\space\space\space\space\space|-85\)
\(-x=65-\frac{5}{2}y\space\space\space\space\space|*(-1)\)
\(x=\frac{5}{2}y-65\)
Somit hätte ich eine Beziehung zwischen x und y hergestellt.
Nun kann ich die Gleichung
\(A=x*y\)
nutzen.
x kann ich dabei eliminieren, indem ich an seiner Stelle \(x=\frac{5}{2}y-65\) , also den rechten Teil der Gleichung, einsetze:
\(A=(\frac{5}{2}y-65)*y\)
Woraus sich folgende Gleichung ergibt:
\(A=\frac{5}{2}y^2-65y\)
Dies ist eine quadratische Gleichung, die den Flächeninhalt des sich ergebenden Rechtecks abhängig von der gewählten Länge für y angibt. Ich kann mir also ein y aussuchen, und die Formel gibt mir den passenden Flächeninhalt aus.
Da es eine quadratische Funktion ist, kann ich durch bilden der ersten beiden Ableitungen herausfinden, wo diese Funktion ein Maximum hat:
\(A'=5y-65\)
Diese muss ich gleich 0 setzen:
\(0=5y-65\)
\(65=5y\)
\(13=y\)
Dieses Ergebnis ist schlecht, weil ich für y eine Länge < 40 heraus bekomme. Irgendwo in meiner Rechnung muss also der Wurm drin sein.
Darüber hinaus ist die zweite Ableitung der Funktion \(A''=5\)
Konstant 5 bedeutet, dass die zweite Ableitung für jede Stelle der ersten Ableitung positiv ist. Somit deutet die Nullstelle der ersten Ableitung nicht auf ein Maximum, sondern auf ein Minimum hin.
Ich glaube aber trotzdem, dass der Ansatz mit dem Sinuswert richtig ist.
Vielleicht kommt ja noch wer drauf und wischt uns die Tomaten von den Augen.
+26393 Von einer rechteckigen Marmorplatte ist eine Ecke abgebrochen(vgl. Abbild.).
Aus der fünfeckigen Restplatte soll durch Schnitte parallel zu den SEiten des ursprünglichen Rechtecks,
eine möglichst große rechteckige Platte herausgeschnitten werden.
Welche Maße hat diese Platte, und wie viel Prozent der ursprünglichen Plattenfläche nimmt sie ein?
1. Hauptbedingung: Die Fläche der rechteckigen Platte A = xy
2. Nebenbedingung:
\(\begin{array}{llcll} 1) & x \text{ ist nur sinnvoll im Bereich der Schrägen}, \\ & \text{daher ist der Definitionsbereich eingeschränkt auf }60\ cm \le x \le 85\ cm \\\\ 2) & \text{Strahlensatz: } \\ & \begin{array}{rcll} \dfrac{85-x}{10-(50-y)} &=& \dfrac{25}{10} \\\\ \dfrac{85-x}{y-40} &=& \dfrac{5}{2} \\\\ \text{nach $y$ aufgelöst: } \\ y &=& 74 - \dfrac{2}{5}x \\ \end{array} \end{array}\)
3. Zielfunktion:
Die Terme für x und y aus den Nebenbedingungen in die Hauptbedingung einsetzen,
um die Zielfunktion zu erstellen:
\(\begin{array}{rcl} A(x) &=& x\left(74- \dfrac{2}{5}x\right) \\ &=& 74x - \dfrac{2}{5}x^2 \end{array}\)
Die Zielfunktion beinhaltet jetzt nur noch eine Variable, von der die Größe A abhängt.
4. Optimum (hier: Maximum):
\(\begin{array}{lrcll} \text{Ableitungen bilden: } \\ & A'(x) &=& 74 - \dfrac{4}{5}x \\ & A''(x) &=& - \dfrac{4}{5} \\ \text{Extremstelle(n) ermitteln: } \\ & A'(x) &=& 74 - \dfrac{4}{5}x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 92.5\ (\text{Maximum}) \\ \end{array} \)
Der Wert des Extremums x = 92,5 cm liegt außerhalb des zulässigen Bereiches (s.o.)
und kann damit keine Lösung sein. Daher müssen die Ränder des Definitionsbereiches
betrachtet werden, um das globale Maximum in diesem Bereich zu ermitteln:
\(A(60) = 60\ cm \cdot 50\ cm = 3000\ cm^2 \qquad A(85) = 85\ cm \cdot 40\ cm = 3400\ cm^2\)
Damit ist \(x = 85\ cm\) und \(y = 40\ cm\) die gesuchte Lösung.
Die ursprünglichen Plattenfläche war \(85\ cm \cdot 50\ cm = 4250\ cm^2\)
Die neue Fläche nimmt \(\dfrac{3400\ cm^2}{4250\ cm^2} = 0.8\ (80 \%)\) der ursprünglichen Plattenfläche ein.
