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Untersuchen Sie,ob der Punkt P auf der Strecke ÂB liegt. A (2/1/4) B (5/7/1) P (3/3/3) Analytische Geometrie

Guest 22.06.2017
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finde eine Zahl t mit der folgende Gleichung erfüllt wird und t >=0 und t<=1 ist (damit es auf der Strecke liegt und nicht außerhalb)

\(\begin{pmatrix} A \end{pmatrix} + t \times \begin{pmatrix} B-A \end{pmatrix} \stackrel{?}{=} \begin{pmatrix} P \end{pmatrix}\)

 

A ist der Basispunkt, also ein Startpunkt der Strecke und B-A ist der Differenzvektor zwischen B und A. Je nach Wert für t, kann jeder Punkt auf der Strecke berechnet werden.

 

\(\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} + t \times \begin{pmatrix} 5-2\\ 7-1\\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\)

 

ergibt folgende drei Gleichungen, die alle für den gleichen Wert von t erfüllt sein müssen:

2+3*t=3
1+6*t=3
4-3*t=3

 

zuerst die Erste:

2+3*t=3 | -2

2+3*t-2=3-2

3*t = 1 | :3

3*t/3 = 1/3

t = 1 / 3

 

zweite:

1+6*t=3

t = 1 / 3

 

dritte:

4-3*t=3

t = 1 / 3

 

 

also gilt mit t = 1/3 (t zwischen 0 und 1) :

\(\begin{pmatrix} A \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \times \begin{pmatrix} B-A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P \end{pmatrix}\)

und damit liegt P auf der Strecke.

admin  25.06.2017

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