Hallo,
in der Schule haben wir gerade das Tema Ableitungen und höhere Ableitungen.
Eine Aufgabe besteht nun darin, einen Funktionstherm erst umzuschreiben (als Summe) und erst anschließend abzuleiten. Ich verstehe alle Aufaben, das Umschreiben fällt mir aber noch schwer.
Hier die Aufgaben:
a) f(x)= x4 - x3
_______
x2
b) f(x)= x12 + x8 + 1
__________
x10
c) f(x)= x4 + 2x2
________
x5
Als Hilfestellung steht übrigens ab Rand:
x3- x x3 x
____ = __- __= x - 1/x
x2 x2 x2
Ich hoffe es ist einigermaßen übersichtlich. Ich bedanke mich im voraus:))
+3976 Die Hilfestellung gibt eigentlich ganz gut vor, was zu tun ist: Zuerst wird der Bruch zu kleineren Summanden aufgespalten (Nenner ist bei allen der gleiche wie davor), dann wird in jedem Summanden so viel gekürzt wie möglich.
(Das ist sinnvoll, weil's das Ableiten der Funktion stark vereinfacht - die Alternative wäre nämlich, mit der Quotientenregel abzuleiten, was ein bisschen aufwändiger ist. Beide Optionen liefern aber natürlich das gleiche Ergebnis.)
Ich zeig's mal noch für c), vielleicht schaffst du dann die anderen - wenn's noch Fragen gibt bist du natürlich gern eingeladen, nochmal nachzufragen.
\(f(x)=\frac{x^4+2x^2}{x^5} = \frac{x^4}{x^5}+2\frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x}+2\frac{1}{x^3} = x^{-1}+2x^{-3}\)
Daher ist die Ableitung
\(f'(x) = -1 \cdot x^{-2}+2\cdot (-3) \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^2} - 6\cdot \frac{1}{x^4}\)
Man sieht: Im ersten Schritt hab' ich den Bruch so weit wie möglich auseinandergezogen, sodass nur noch einzelne x-Potenzen in Zähler&Nenner stehen. Dann konnte ich im ersten Summanden mit x4 kürzen, im zweiten mit x2. Die 2 vor dem Bruch bleibt dabei stehen, sie ist ja kein Teil des Bruchs. Danach schreib' ich's noch um zu x-Potenzen mit negativem Exponenten, um das Ableiten zu vereinfachen. Ableiten funktioniert dann wie immer bei Polynomen.
