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Hallo, ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem. 

 

In welchen Punkten hat der Graph der Sinusfunktion in [0; 2pi] eine Steigung wie die 1. Winkelhalbierende, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung y=1/2x ?

 

Ich weiß nicht, wie man das rechnet und ich kenne die Ableitung.

 

Dankeschön im Voraus

LG

 19.03.2016
 #1
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Hallo,

die Steigung der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten beträgt eins, tan(45°), von der x-Achse ist die Steigung null , tan(0°) und von der Geraden y=1/2x ist die Steigung m= 1/2

warum?

Steigung f´(x)= m = tan (alpha) = dy/dx

Die Steigung entspricht den Funktionswerten der ersten Ableitung, dem m in der linearen Funktionsgleichung

y= f(x)=m*x+b, Steigungsdreieck (delta y / delta x) und dem Winkel alpha einer Geraden/Tangente zur positiven x-Achse

 

Die Ableitung von f(x)=sin(x) ist

f´(x)= cos(x)

 

1.Fall, Winkelhalbierende, Steigung = 1;   f´(x)=1    cos(x)=1      l  arccos  ( auch cos hoch minus 1 genannt)

                                                                                      x= arccos(1) 

                                                                                      x1=0 oder x2 = 2*Pi - x1 = 2*Pi  (Lösung im Bogenmaß)

                                                                                      x=0° oder x= 360° Lösung in Grad

 

Zwei Lösungen, da die cos-Kurve bei x=Pi eine Symmetrieachse für das Intervall [0;2*Pi] hat

Lösung 1 gibt der Taschenrechner, Lösung 2 ist 2*Pi minus Lösung 1

 

2.Fall, x-Achse, Steigung = 0;  f´(x) = 0  (Extrema der Sinuskurve) ,  Nullstellen der cos-Funktion: cos(x) = 0    l  arccos

                                                                       x = arccos(0)

                                                                      x1 = Pi/2 = 1,57 oder x2 = 2*Pi - x1 = 1,5*Pi = 4,71 (Bogenmaß)

 

3. Fall, Gerade mit der Steigung 0,5 ; f´(x) = 0,5   cos(x) = 0,5    l  arccos

                                                                                    x = arccos (0,5)

                                                                                    x1 = Pi/3 = 1,047 oder x2 = 2*Pi- Pi/3 =5/3* Pi = 5,236

 

Ich hoffe das hilft dir weiter

 20.03.2016
 #2
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Ich habe übersehen, dass nach den Punkten gefragt ist. Ich habe nur die x-Stellen ausgerechnet. Die y-Werte oder Funktionswerte f(x) müssen noch ausgerechnet werden. Einfach den x-Wert in die sin-Funktion einsetzen.

 f(x)= sin (x)

f(0)= sin (0) = 0      P1 (0 l 0)

f(2*Pi) = sin (2*Pi) = 0     P2 (2*Pi l 0), usw...

 20.03.2016

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