a) Finden Sie jeweils Nullfolgen (an)n∈N und (bn)n∈N mit bn != 0 für alle n ∈ N, so dass gilt: (i)\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} =0\), (ii) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} =π\)
b) Finden Sie jeweils Folgen (cn)n∈N und (dn)n∈N mit \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} c_n=0, und \lim\limits_{n \rightarrow \infty}d_n = ∞\), so dass gilt: (i) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (c_n .d_n) = -∞\), (ii) \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (c_n .d_n) = 5\)
Könnte jemand beim Lösen der Aufgaben helfen das wäre sehr nett
+3976 a) (i):
Eine Möglichkeit wäre, die Folgen durch folgende Gleichungen zu definieren:
an=1/n2
bn=1/n
Dann ist nämlich an/bn = 1/n, was wieder eine Nullfolge ist. (Mach dir klar, dass die so definierten Folgen wirklich Nullfolgen sind!)
a) (i):
Sei pn irgendeine Folge, die selbst gegen Pi konvergiert. Da gibt's mehrere, irgendeine werdet ihr in der Vorlesung wohl gesehen haben. Ansonsten kannst du da auch eine googlen.
Dann ist
an=pn/n eine Nullfolge. Mit bn definiert wie oben ist der Quotient an/bn=pn und konvergiert daher wieder gegen Pi.
b) (i):
mit
cn=-1/n
dn=n2
ist das Produkt cndn=-n und konvergiert daher gegen -unendlich.
b) (ii):
mit
cn=1/n
dn=an (a>0)
ist das Produkt cndn=a konstant und konvergiert daher gegen a. Gesucht ist der Spezialfall a=5.
Mach dir jeweils klar, dass alle Folgen die geforderten Bedingungen erfüllen. Wenn was unklar ist frag' gern nochmal nach.
Hi. Wie genau könnte man das aufschreiben ? Einfach so wie du es beschrieben hast ? Bin mir unsicher, wie ich das aufschreiben kann. Danke im Voraus !
+3976 Das sollte eigentlich ungefähr so passen, ja. Du könntest noch bei den Gleichungen, die die Folgenglieder definieren, jeweils ein "für alle natürlichen Zahlen n" anfügen, damit ganz klar ist, wie's gemeint ist. Also quasi sowas wie "Seien die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N definiert durch" vorneweg.
Ich bin mir außerdem unsicher, ob du zu allen Folgen, die ich benutzt habe, noch nachweisen müsstest, dass sie den gewünschten Grenzwert haben. Es kommen aber nur Folgen vor, deren Grenzwert entweder klar ist und/oder deren Grenzwert du vermutlich aus der Vorlesung kennst, insofern ist das wahrscheinlich eher unnötig.
Wenn du willst kannst du deine Abgabe ja mal fertig machen & abfotografieren, dann kann ich dir sagen ob du bei mir alle Punkte bekommen würdest ;)
Übrigens, speziell falls das eine Hausaufgabe ist: Versuche zumindest, gut nachzuvollziehen, warum diese Lösungen korrekt sind. Blindes Abschreiben hilft dir höchstens, um Termine einzuhalten. Du könntest dir auch zur Übung noch zu jeder Teilaufgabe ähnliche Folgenpaare überlegen, keine der Lösungen ist eindeutig.
