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a) Überprüfen Sie, welche der folgenden Vektoren  vi , i = 1, 2, 3, 4, jeweils orthogonal zueinander sind.

v1 = (1, 2, 3, 4) v2 = (2, 2, −2, 0) v3 = (5, −7, 3, 1) v4 = (1, 0, −3, 2)

Hinweis: Insgesamt haben Sie also 6 Vektorenpaare auf Orthogonalit¨at zu untersuchen. Begrunden Sie Ihre Antworten.

 

b) Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Ungleichung \( \sum_{i=1}^{n}\left | x_i \right | <= \sqrt{n\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\) (xi ∈ R für ¨ i = 1, . . . , n).

Hinweis: Betrachten Sie das Skalarprodukt von (1, ..., 1) mit einem geeigneten zweiten Vektor.

 

c) Seien v, w ∈ R n . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) (v + w) · (v − w) = //v//2 - //w//2

(b) 4(v · w) =//v+w//2 - //v-w//2

 

Kann jemand diese Aufgaben lösen, weil ich kann es leider nicht haha

 08.12.2021
 #1
avatar+3598 
+1

Für die a) musst du nur aus jeweils zwei der gegebenen Vektoren das Skalarprodukt bilden & prüfen ob's 0 ist. Wenn's 0 ist sind die Vektoren orthogonal, wenn nicht, dann nicht. Das schaffst du!

 

Für b) würd' ich spontan statt dem Hinweis folgendes tun:
Sei x=(x1; ... ; xn) ein Vektor aus Rn und s=(sign(x1); ... ; sign(xn)) der Vektor aus +1 & -1, sodass die Vorzeichen mit denen aus x eintragsweise übereinstimmen (oder 0, wenn das entsprechende xi auch 0 ist).

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt:

\(| \langle x ; s \rangle |^2 \leq ||x|| \cdot ||s||\)

Links vom Ungleichheitszeichen wird jedes xi mit seinem Vorzeichen multipliziert - also der Betrag gebildet - und dann wird alles aufsummiert. Schließlich wird noch quadriert. Ohne das Quadrieren wär's also schon genau die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung.

Rechts ist \(||x|| = \sum_{i=1}^nx_i^2\) und \(||s||=\sum_{i=1}^n sign(x_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n 1 = n\). Die Ungleichung kommt zustande, da sign(xi)=0 ist, wenn xi=0 ist.

Wir haben also:

\((\sum_{i=1}^n |x_i|)^2 \leq ||s|| \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq n \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2\)

Zieht man auf beiden Seiten noch die Wurzel, so erhält man die zu zeigende Ungleichung. 

 08.12.2021
 #2
avatar+3598 
+1

Jetzt noch die c):

 

Für (a) musst du eigentlich nur die Klammern auflösen (Skalarprodukt ist linear!) & benutzen, dass das Skalarprodukt kommutativ ist & (v; v)=||v||2 gilt. 

Für (b) geht's eigentlich genauso, die mach ich aber trotzdem mal vor:

Ich schau mir erstmal nur die rechte Seite der Gleichung an:
||v+w||2 - ||v-w||2 = 

(v+w ; v+w) - (v-w; v-w) = 

(v; v+w) + (w; v+w) - [(v; v-w) - (w; v-w) ] = 

(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) - [(v; v) -(v; w) - [(w; v)-(w; w)]] = 

(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) -(v; v) +(v; w) + [(w; v) - (w; w)] = 

(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) -(v; v) +(v; w) + (w; v) - (w; w) = 

2(v; w)+2(w; v) = 4(v;w).

Die linke kam 'raus - passt.

(a) geht genauso, fang' aber mit der linken Seite an ;)

 08.12.2021
 #3
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Vielen Dank sehr gut erklärt!!

 09.12.2021
 #4
avatar+3598 
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Freut mich, dass ich helfen konnte. Danke für dein Lob!

Probolobo  09.12.2021

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