a) Überprüfen Sie, welche der folgenden Vektoren vi , i = 1, 2, 3, 4, jeweils orthogonal zueinander sind.
v1 = (1, 2, 3, 4) v2 = (2, 2, −2, 0) v3 = (5, −7, 3, 1) v4 = (1, 0, −3, 2)
Hinweis: Insgesamt haben Sie also 6 Vektorenpaare auf Orthogonalit¨at zu untersuchen. Begrunden Sie Ihre Antworten.
b) Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Ungleichung ∑ni=1|xi|<=√n∑ni=1x2i (xi ∈ R für ¨ i = 1, . . . , n).
Hinweis: Betrachten Sie das Skalarprodukt von (1, ..., 1) mit einem geeigneten zweiten Vektor.
c) Seien v, w ∈ R n . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) (v + w) · (v − w) = //v//2 - //w//2
(b) 4(v · w) =//v+w//2 - //v-w//2
Kann jemand diese Aufgaben lösen, weil ich kann es leider nicht haha
+3976 Für die a) musst du nur aus jeweils zwei der gegebenen Vektoren das Skalarprodukt bilden & prüfen ob's 0 ist. Wenn's 0 ist sind die Vektoren orthogonal, wenn nicht, dann nicht. Das schaffst du!
Für b) würd' ich spontan statt dem Hinweis folgendes tun:
Sei x=(x1; ... ; xn) ein Vektor aus Rn und s=(sign(x1); ... ; sign(xn)) der Vektor aus +1 & -1, sodass die Vorzeichen mit denen aus x eintragsweise übereinstimmen (oder 0, wenn das entsprechende xi auch 0 ist).
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt:
|⟨x;s⟩|2≤||x||⋅||s||
Links vom Ungleichheitszeichen wird jedes xi mit seinem Vorzeichen multipliziert - also der Betrag gebildet - und dann wird alles aufsummiert. Schließlich wird noch quadriert. Ohne das Quadrieren wär's also schon genau die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung.
Rechts ist ||x||=∑ni=1x2i und ||s||=∑ni=1sign(xi)2≤∑ni=11=n. Die Ungleichung kommt zustande, da sign(xi)=0 ist, wenn xi=0 ist.
Wir haben also:
(∑ni=1|xi|)2≤||s||⋅∑ni=1x2i≤n⋅∑ni=1x2i
Zieht man auf beiden Seiten noch die Wurzel, so erhält man die zu zeigende Ungleichung.
+3976 Jetzt noch die c):
Für (a) musst du eigentlich nur die Klammern auflösen (Skalarprodukt ist linear!) & benutzen, dass das Skalarprodukt kommutativ ist & (v; v)=||v||2 gilt.
Für (b) geht's eigentlich genauso, die mach ich aber trotzdem mal vor:
Ich schau mir erstmal nur die rechte Seite der Gleichung an:
||v+w||2 - ||v-w||2 =
(v+w ; v+w) - (v-w; v-w) =
(v; v+w) + (w; v+w) - [(v; v-w) - (w; v-w) ] =
(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) - [(v; v) -(v; w) - [(w; v)-(w; w)]] =
(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) -(v; v) +(v; w) + [(w; v) - (w; w)] =
(v; v)+(v; w) + (w; v) + (w; w) -(v; v) +(v; w) + (w; v) - (w; w) =
2(v; w)+2(w; v) = 4(v;w).
Die linke kam 'raus - passt.
(a) geht genauso, fang' aber mit der linken Seite an ;)
