Joren sagte einmal:
Für jede Division, die Sie durchführen, können Sie eine Probe anstellen. Somit wird geprüft, ob eine Rechnung stimmt. Nehmen wir als Beispiel die Rechnung 6 : 2 = 3.
Für die Probe multiplizieren wir das Ergebnis mit dem Divisor, also 3 x 2 = 6. Die Probe war erfolgreich, unsere Rechnung stimmt.
Das Teilen durch die Zahl Null ist zwar nicht möglich, es gibt jedoch zwei Arten von Ergebnissen, die zumindest plausibel klingen: 6 : 0 = 0 oder 6 : 0 = 6
Führen wir für beide Rechnungen die Probe durch, also 0 x 0 = 0 und 0 x 6 = 0, erhalten wir als Ergebnis stets eine Null und keine 6. Die Probe war somit nicht erfolgreich, das Teilen durch die Zahl Null führt zu keinem korrekten Ergebnis.
+3976 Schöne Antwort - man braucht dafür nicht mal die "plausibel klingenden" Lösungen.
Wäre 6/0=a, so müsste nach deinem Vorgehen gelten a*0=6, aber a*0=0 für alle Zahlen a. Daher liefert gar kein Ergebnis des Bruches 6/0 ein korrektes Ergebnis.
Das Problem ist: Bei 0/0 funktioniert das mit der Probe ja.
Wäre 0/0 = a, so müsste gelten 0*a = 0, was ja stimmt - diese Probe widerspricht also der Existenz eines Ergebnisses nicht. Sie zeigt nur: Man kann keine Zahl ungleich 0 durch 0 teilen.
+3976 Man kann hier auch einige Grenzwert-Überlegungen anstellen, die recht schnell zeigen, dass es für "0/0" keine sinnvolle Antwort gibt:
Betrachten wir beispielsweise
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}\)
Hier gehen sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0, das Ergebnis wäre also quasi 0/0. Da aber Zähler und Nenner gleich sind, hat der Bruch stets den Wert 1, daher ist auch der Grenzwert 1. Daraus würde folgen: 0/0=1.
Betrachten wir aber folgenden Grenzwert:
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x}\)
Hier gehen ebenfalls Zähler & Nenner gegen 0, das Ergebnis ist also 0/0. Kürzt man, so erhält man für den Bruch den Wert x - was bei dem gegebenen Grenzwert ja gegen 0 geht. Also folgt auch 0/0 = 0.
Insgesamt folgt also 1=0, was offenbar nicht stimmt.
Folgender Grenzwert liefert nochmal ein anderes Ergebnis:
\(lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2}\)
Wieder gehen Zähler&Nenner gegen 0, wieder 0/0. Kürzt man, kommt 1/x heraus, was bei gegebenem Grenzwert gegen unendlich geht. So folgt 0/0=unendlich. Wieder ein anderes Ergebnis!
Würde man im ersten Grenzwert noch eine beliebige Zahl als Vorfaktor einführen, so wäre genau dieser Faktor das Grenzwert-Ergebnis. So sehen wir: 0/0 hat sozusagen gleichzeitig alle Werte - jede Zahl UND unendlich bzw. negativ-unendlich. Das kann aber nicht sein - daher ist 0/0 nicht definiert.
Auf ähnliche Art kann man sich klar machen, warum \(\infty - \infty\) nicht definiert ist. Man betrachtet dafür Grenzwerte mit x gegen unendlich, beispielsweise von x-x, x2-x usw.
