+3976 Die 4 Induktionen?
Im Bild wird "behauptet", dass gilt
\(\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)
Die Aussage ist wahr, der Beweis dafür eine typische Induktions-Aufgabe. Willst du das gezeigt haben?
Wenn ja - kriegst du den Induktionsanfang noch hin?
Ja das will ich wissen. Aber der Prof. hat es nicht sehr verständlich geschrieben, desswegen wäre es nett wenn du mir sagen könntest wie man das macht. (er hat es nur ein Beispiel aufgeschrieben und nicht wie man es generel macht)
+3976 Klar, auf geht's!
Der Induktionsanfang ist meistens der leichteste Teil. Wir prüfen, ob die Aussage für die kleinste mögliche Zahl gilt, in dem Fall n=1. Das passiert, indem wir einfach in beide Seiten der zu zeigenden Gleichheit 1 einsetzen und sehen, dass die Aussage stimmt:
\(\Sigma_{k=1}^1 k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 +1)}{6}\) - passt!
Die Induktionsvoraussetzung ist (eigentlich immer), dass die zu zeigende Aussage für irgendeine Zahl n gilt. Wir wollen daraus folgern, dass sie auch für n+1 gilt. (Man kann sogar voraussetzen, dass sie für alle Zahlen kleiner oder gleich einer Zahl n gilt. Hier ist das nicht notwendig, manchmal ist's praktisch.)
Wir nehmen also an: \(\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) gilt für eine Zahl n.
Zeigen wollen wir jetzt (Induktionsschritt), dass dann auch gilt \(\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6}\).
Dabei können wir zunächst die rechte Seite vereinfachen: \(\frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\).
Die linke Seite schauen wir uns auch nochmal genauer an. Bei (*) benutze ich die Induktionsvoraussetzung.
\(\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = (\Sigma_{k=1}^n k^2 ) +(n+1)^2=^* \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n+1)^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n^2+2n+1) = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6(n^2+2n+1)}{6}\)
Löst du da noch die Klammern auf (das überlass' ich mal dir), wirst du feststellen: Die linke Seite und die rechte Seite stimmen überein.
Somit ist gezeigt: Stimmt die Aussage für eine Zahl n, dann auch für die folgende Zahl n+1. Weil sie für n=1 stimmt, stimmt sie also für n=2 und daher für n=3 usw. - die Aussage ist also wahr für jede natürliche Zahl.
Ich hoff' das war so ausführlich genug, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist! :)
