In einer Urne liegen 8 gelbe, 12 rote und 5 blaue Kugeln. Wie wahrscheinlich ist es, durch 2-maliges blindes Ziehen ohne Zurücklegen mindestens 1 gelbe Kugel zu ziehen ?
$$\small{\text{
Wir haben \textcolor[rgb]{150,150,0}{ $\;8$ gelbe} Kugeln,
\textcolor[rgb]{150,0,0}{$\; 12 $rote} Kugeln und
\textcolor[rgb]{150,0,150}{$\; 5 $blaue} Kugeln, das sind $\;8+12+5 = 25 $ Kugeln.
}}\\\\
\small{\text{
Die M\"oglichkeit \textcolor[rgb]{150,150,0}{ eine gelbe} Kugel zu ziehen = $\binom{ \textcolor[rgb]{150,150,0}{ 8 }}{1}
\cdot\binom{\textcolor[rgb]{150,0,0}{12}+\textcolor[rgb]{150,0,150}{5}}{1}$
}}\\
\small{\text{
Die M\"oglichkeit \textcolor[rgb]{150,150,0}{ zwei gelbe} Kugeln zu ziehen = $\binom{ \textcolor[rgb]{150,150,0}{ 8 }}{2}
\cdot\binom{\textcolor[rgb]{150,0,0}{12}+\textcolor[rgb]{150,0,150}{5}}{0}$
}}\\
\small{\text{
Die M\"oglichkeit von $25(8+12+5)$ Kugeln $2$ zu ziehen = $\binom{ 25}{2} $
}}\\\\
\small{\text{
Die M\"oglichkeit \textcolor[rgb]{150,150,0}{ mindestens eine gelbe} Kugel zu ziehen =
$\dfrac{
\binom{ \textcolor[rgb]{150,150,0}{ 8 }}{1} \cdot\binom{\textcolor[rgb]{150,0,0}{12}+\textcolor[rgb]
{150,0,150}{5}}{1}
+\binom{ \textcolor[rgb]{150,150,0}{ 8 }}{2}
\cdot\binom{\textcolor[rgb]{150,0,0}{12}+\textcolor[rgb]{150,0,150}{5}}{0} }
{\binom{25}{2}}
$ }} \\
\small{\text{
$
=\dfrac{ 8\cdot 17+\dfrac{8!}{2!\cdot 6!}\cdot 1 }
{\dfrac{25!}{2!23!}}
=\dfrac{8\cdot 17+\dfrac{7\cdot 8}{2} }
{\dfrac{24\cdot 25}{2}}
=\dfrac{16\cdot 17+7\cdot 8}{24\cdot 25}
=\dfrac{328}{600}
=0.54666666667
\approx 54,67\%
$}}$$
.
