Ich verwende als Formel für die logistische Gleichung f(t)= S/(1+a*e^-xt)
Für S habe ich 200 gegeben, für a = 19,
für f(t) = 150 und für t=8
wie stelle ich das nun schrittweise nach x um?
\(\begin{array}{|rcll|} \hline f(t)&=& \frac{S} {1+a\cdot e^{-xt}} \quad &| \quad \cdot (1+a\cdot e^{-xt}) \\ f(t)\cdot (1+a\cdot e^{-xt})&=& S \quad &| \quad : f(t) \\ 1+a\cdot e^{-xt} &=& \frac{S}{f(t)} \quad &| \quad -1 \\ a\cdot e^{-xt} &=& \frac{S}{f(t)} -1 \quad &| \quad : a \\ e^{-xt} &=& \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{S}{f(t)} -1 \right) \quad & | \quad \text{logarithmieren auf beiden Seiten }\\ \ln( e^{-xt}) &=& \ln( \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{S}{f(t)} -1 \right) ) \\ -xt\cdot \ln( e ) &=& \ln( \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{S}{f(t)} -1 \right) ) \quad & | \quad \ln(e) = 1\\ -xt &=& \ln( \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{S}{f(t)} -1 \right) ) \quad &| \quad : (-t) \\\\ \mathbf{ x }&\mathbf{ = }& \mathbf{ \frac{ \ln( \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{S}{f(t)} -1 \right) ) } {-t} } \quad & | \quad S=200, ~ f(t)=150,~a=19,~t=8 \\\\ x &=& \frac{ \ln( \frac{1}{19}\cdot \left(\frac{200}{150} -1 \right) ) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln( \frac{1}{19}\cdot \left(\frac{4}{3} -1 \right) ) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln( \frac{1}{19}\cdot \left(\frac{4-3}{3} \right) ) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln( \frac{1}{19}\cdot \frac{1}{3} ) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln( \frac{1}{57} ) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln(1)-\ln(57) } {-8} \quad & | \quad \ln(1) = 0\\ x &=& \frac{ 0-\ln(57) } {-8} \\ x &=& \frac{ -\ln(57) } {-8} \\ x &=& \frac{ \ln(57) } { 8} \\ x &=& \frac{ 4.04305126783 } { 8} \\ x &=& 0.50538140848 \\ \hline \end{array} \)
