heureka

what is cot(A) if cos(A)=2/radical(13)

$\begin{array}{|rcll|} \hline \cos(A)&=& \frac{2} { \sqrt{13} } \\\\ 2^2+x^2 &=& ( \sqrt{13} ) ^2 \\ 4 + x^2 &=& 13 \\ x^2 &=& 13 -4 \\ x^2 &=& 9 \\ x &=& 3 \\\\ \cot(A) &=& \frac{2}{3} \\ \hline \end{array}$

urne mit zurücklegen. 1x Schwarz, 4x weiß.

Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal schwarz gezogen wird ?

Urne mit 5 Kugeln.
1x Schwarz und 4x weiß.
Zweimal ziehen mit Zurücklegen.

Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, das 2 mal schwarz gezogen wird?

Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \\ &=& \frac{1}{25} \\ &=& 0.04\quad (4\ \%)\\ \hline \end{array}$

(max (min 3 9 2) (· (max 0 4) (min 0 4))) (min (max 3 6) (max 5 7 2))) = ?

"(" missing

Shape a piece of wire of length and inches into a rectangular shape to maximize the enclosed area. {nl} What is the optimum length and width of the rectangle? {nl} Maximize:Area {nl} Restriction:length of the perimeter of the rectangle is equal to L inches. {nl} A=lw {nl} P=2l+2w

Let l = length of the rectangle

Let w = width of the rectangle

Let L = perimeter of the rectangle

$\begin{array}{|rcll|} \hline 2\cdot ( l + w ) &=& L \\ l+w &=& \frac{L}{2} \\ w &=& \frac{L}{2} - l \\\\ A &=& l\cdot w \\ A &=& l\cdot \left( \frac{L}{2} - l \right) \\ A &=& l\cdot \frac{L}{2} - l^2 \\\\ A' &=& \frac{L}{2} - 2\cdot l = 0 \\ \frac{L}{2} - 2\cdot l &=& 0 \\ \frac{L}{2} &=& 2\cdot l \\ L &=& 4\cdot l \\ \mathbf{l} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{L}{4} } \\\\ A'' &=& - 2 \qquad \text{ max.}\\\\ w &=& \frac{L}{2} - l \\ w &=& \frac{L}{2} - \frac{L}{4} \\ \mathbf{w} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{L}{4} } \\\\ \hline \end{array}$

The optimum length = width = $\frac{L}{4}$

The max. area is  $l \cdot w = \frac{L}{4} \cdot \frac{L}{4} = \frac{L^2}{16}$

On a world map ​, the distance between city A and city B is 11.375 inches.

The two cities are actually 3413 miles apart.

On the same map ​,

what would be the distance between city C and city​ D,

two cities that are actually 3082 miles​ apart?

Use a proportion to solve this problem.

$\begin{array}{|rcll|} \hline && \displaystyle \frac{ 11.375\ \text{inches} }{ 3413\ \text{miles} } \cdot 3082\ \text{miles} &=& \displaystyle\frac{11.375\cdot 3082}{3413} \ \text{inches}\\\\ &=& \displaystyle 10.2718283035 \ \text{inches}\\ \hline \end{array}$

The distance between city C and city D on the map is 10.272 inches.

435 vom oktalsystem in dezimalsystem???

$\begin{array}{|rcll|} \hline (4\cdot 8 + 3 ) \cdot 8 + 5 &=& 285_{10} \\ \hline \end{array}$

NR 3 

Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen dritten Grades.

[Hinweis: Raten Sie zunächst eine Nullstelle x1 und führen Sie dann eine Polynomdivision durch (x – x1) durch.

Schauen Sie ggf. in der Mathe-Mediathek nach, wie man eine Polynomdivision durchführt.]

Ganzzahlige Lösungen ergeben sich, wenn vorhanden, wenn man alle Teiler des Absolutgliedes prüft.

(a) f(x) = x³ + x² – 9x – 9

Versuch mit allen Teilern von $9 = \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\}$

$\Rightarrow x =-1 \\ \begin{array}{|rcll|} \hline && (-1)^3+(-1)^2-9\cdot (-1) - 9 \\ & = & -1+1+9-9 \\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array}$

Polynomdivision:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 + x^2 – 9x – 9 &:& (x-(-1)) \\ x^3 + x^2 – 9x – 9 &:& (x+1) = x^2-9 \\ \hline \end{array}$

Berechnung der weiteren Nullstellen:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^2 - 9 &=& 0 \\ x^2 &=& 9 \\ x &=& \pm 3 \\ \hline \end{array}$

Die Nullstellen lauten :

$x_1 = -3 \quad x_2 = -1 \quad x_3 = 3$

(b) f(x) = x³ – 7x² + 7x – 1

Versuch mit allen Teilern von $1 = \{\pm 1 \}$

$\Rightarrow x = 1$

$\begin{array}{|rcl|} \hline && 1^3-7\cdot 1^2 + 7\cdot 1 -1 \\ & = & 1-7+7-1\\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array}$

Polynomdivision:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 – 7x^2 + 7x – 1 &:& (x-1) = x^2-6+1 \\ \hline \end{array}$

Berechnung der weiteren Nullstellen:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^2-6+1 &=& 0 \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 1} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{32} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm \sqrt{2\cdot 16} }{2} \\ x &=& \frac{6\pm 4\cdot \sqrt{2} }{2} \\ x &=& 3\pm 2\cdot \sqrt{2}\\ \hline \end{array}$

Die Nullstellen lauten :
$x_1 = 3-2\sqrt{2} \quad x_2 = 1 \quad x_3 = 3+2\sqrt{2}$

(c) f(x) = x³ + x² + 3x + 3

Versuch mit allen Teilern von $3 = \{\pm 1, \pm 3 \}$

$\Rightarrow x =-1 \\ \begin{array}{|rcll|} \hline && (-1)^3+(-1)^2+3\cdot (-1) +3 \\ & = & -1+1-3+3 \\ &=& 0 \checkmark \\ \hline \end{array}$

Polynomdivision:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^3 + x^2 + 3x + 3 &:& (x-(-1)) \\ x^3 + x^2 + 3x + 3 &:& (x+1) = x^2+3 \\ \hline \end{array}$

Berechnung der weiteren Nullstellen:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x^2+3 &=& 0 \\ x^2 &=& -3 \\ x &=& \pm \sqrt{-3} \\ x &=& \pm i \cdot \sqrt{3} \\ \hline \end{array}$

Die Nullstellen lauten :

$x_1 = -1 \quad x_2 = -i\cdot\sqrt{3} \quad x_3 = i\cdot\sqrt{3}$

NR 2

Zeigen Sie: (a) sinh(0) = 0, cosh(0) = 1:

$\begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \quad & | \quad x = 0 \\\\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0-e^{-0}) \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0-e^{0}) \quad & | \quad e^0 = 1 \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot (1-1) \\ \sinh\ (0) &=& \frac12\cdot 0 \\ \sinh\ (0) &=& 0 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \quad & | \quad x = 0 \\\\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0+e^{-0}) \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (e^0+e^{0}) \quad & | \quad e^0 = 1 \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot (1+1) \\ \cosh\ (0) &=& \frac12\cdot 2 \\ \cosh\ (0) &=& 1 \\ \hline \end{array}$

(b) sinh(x) ist eine ungerade Funktion, cosh(x) ist eine gerade Funktion

$\begin{array}{|rcll|} \hline \text{ungerade Funktion: } f(-x) &=& -f(x) \\ \text{gerade Funktion: } f(-x) &=& f(x) \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \\\\ \sinh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}-e^{-(-x)}) \\ \sinh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}-e^{x}) \\ \sinh\ (-x) &=& -\frac12\cdot (e^{x}-e^{-x}) \\\\ \mathbf{\sinh\ (-x)} &\mathbf{=}& \mathbf{-\sinh\ (x)} \quad & | \quad \sinh\ (x) \text{ ist eine ungerade Funktion}\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \\\\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}+e^{-(-x)}) \\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{-x}+e^{x}) \\ \cosh\ (-x) &=& \frac12\cdot (e^{x}+e^{-x}) \\\\ \mathbf{\cosh\ (-x)} &\mathbf{=}& \mathbf{\cosh\ (x)} \quad & | \quad \cosh\ (x) \text{ ist eine gerade Funktion}\\ \hline \end{array}$

(c) cosh² (x) – sinh² (x) = 1.

$\small{ \begin{array}{|rcll|} \hline \sinh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x-e^{-x}) \\ \sinh^2\ (x) &=& [\frac12\cdot (e^x-e^{-x})]^2 \\\\ \cosh\ (x) &=& \frac12\cdot (e^x+e^{-x}) \\ \cosh^2\ (x) &=& [\frac12\cdot (e^x+e^{-x})]^2 \\\\ && \cosh^2\ (x) – \sinh^2\ (x) \\ &=& [\frac12\cdot (e^x+e^{-x})]^2 - [\frac12\cdot (e^x-e^{-x})]^2 \\ &=& \frac14\cdot (e^x+e^{-x})^2 - \frac14\cdot (e^x-e^{-x})^2 \\ &=& \frac14 \cdot [~ (e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 ~] \quad & | \quad 1. \text{ und } 2. \text{ Binom } \\ &=& \frac14 \cdot [~ e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} - ( e^{2x} - 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} ) ~] \\ &=& \frac14 \cdot (~ e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} - e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x} -e^{-2x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ e^{2x}- e^{2x} + 2\cdot e^x\cdot e^{-x}+ 2\cdot e^x\cdot e^{-x} +e^{-2x} -e^{-2x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ 0 + 4\cdot e^x\cdot e^{-x} +0 ~) \\ &=& \frac14 \cdot (~ 4\cdot e^x\cdot e^{-x} ~) \\ &=& \frac14 \cdot 4\cdot e^x\cdot e^{-x} \\ &=& e^x\cdot e^{-x} \\ &=& e^{x-x} \\ &=& e^{0} \\ &=& 1 \\ \hline \end{array} }$

200*2^(x/9)-1600*2^(x/18)=0

$\begin{array}{|rcll|} \hline 200\cdot 2^{\frac{x}{9}}-1600\cdot 2^{\frac{x}{18}} &=& 0 \quad & | \quad : (-200) \\ -2^{\frac{x}{9}}+8\cdot 2^{\frac{x}{18}} &=& 0 \quad & | \quad + 2^{\frac{x}{9}} \\ 8\cdot 2^{\frac{x}{18}} &=& 2^{\frac{x}{9}} \quad & | \quad 1^{\frac{9}{x} }\\ 8^{\frac{9}{x} }\cdot 2^{\frac{x}{18}\cdot {\frac{9}{x} }} &=& 2^{\frac{x}{9}\cdot {\frac{9}{x} }} \\ 8^{\frac{9}{x} }\cdot 2^{ \frac{1}{2} } &=& 2^{1 } \quad & | \quad : 2^{ \frac{1}{2} } \\ 8^{\frac{9}{x} } &=& \frac{ 2^{1} } {2^{ \frac{1}{2} }} \\ 8^{\frac{9}{x} } &=& 2^{1-\frac{1}{2} } \\ 8^{\frac{9}{x} } &=& 2^{ \frac{1}{2} } \quad & | \quad 8 = 2^3\\ 2^{\frac{3 \cdot 9}{x} } &=& 2^{ \frac{1}{2} } \\ 2^{\frac{27}{x} } &=& 2^{ \frac{1}{2} } \\\\ \frac{27}{x} &=& \frac{1}{2} \\ x &=& 2\cdot 27 \\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{54} \\ \hline \end{array}$

What is a odd number between 120 to 150 that is not divisible by 3,5,7, or 9?

The numbers not divisible by 2, 3, 5, 7, 9 are:

$\begin{array}{|rll|} \hline 121 & =11^2 \\ 127 & \text{prime number} \\ 131 & \text{prime number} \\ 137 & \text{prime number} \\ 139 & \text{prime number} \\ 143 & =11\cdot 13 \\ 149 & \text{prime number} \\ \hline \end{array}$