heureka

(1 + cos(x) + cos(2x)) / (sin(x) + sin(2x)) = cot(x) ??

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \cot (x) = \frac{1+\cos (2x)}{\sin(2x)} \\ \hline \end{array}\)  see unit-circle: \(\begin{array}{|rcll|} \hline \cot (\frac{x}{2}) = \frac{1+\cos (x)}{\sin(x)} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \frac { 1 + \cos(x) + \cos(2x)} { \sin(x) + \sin(2x) } &=& \cot(x) \\\\ \frac { 1 + \cos(2x) + \cos(x) } { \sin(x) + \sin(2x) } &=& \cot(x) \\\\ 1 + \cos(2x) + \cos(x) &=& \cot(x) \cdot [ \sin(x) + \sin(2x) ] \quad | \quad 1+\cos (2x) = \sin(2x)\cdot \cot(x)\\ \sin(2x)\cdot \cot(x) + \cos(x) &=& \cot(x) \cdot [ \sin(x) + \sin(2x) ] \\ \sin(2x)\cdot \cot(x) + \cos(x) &=& \cot(x) \cdot \sin(x) + \cot(x) \cdot \sin(2x) \\ \cos(x) &=& \cot(x) \cdot \sin(x) \\ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} &=& \cot(x) \\ \hline \end{array}\)

Simplify (1+3+5+...+199)/(2+4+6+...+200).

\(\begin{array}{|rcll|} \hline s_n &=& \frac{(a_1+a_n)}{2} \cdot n \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1+3+5+...+199}{2+4+6+...+200} \\\\ &=& \frac{\frac{(a_1+a_n)}{2} \cdot n }{\frac{(b_1+b_n)}{2} \cdot n} \\\\ &=& \frac{a_1+a_n}{b_1+b_n}\\\\ &=& \frac{1+199}{2+200}\\\\ &=& \frac{200}{202}\\\\ &=& \frac{100}{101}\\\\ &=& 0.99009900990\dots \\ \hline \end{array} \)

           10
find      ∑ (k+2)*3*2^k
         k=0

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sum \limits_{k=0}^{10} {(k+2)\cdot 3 \cdot 2^k} \\ &=& 3\cdot \sum \limits_{k=0}^{10} {(k+2)\cdot 2^k} \\ &=& 3\cdot S_{10} \qquad |\qquad \text{We set } ~ S_{10} = \sum \limits_{k=0}^{10} {(k+2)\cdot 2^k} \\ \hline \end{array} \)

\(\begin{array}{|lcll|} \hline S_{10} = \sum \limits_{k=0}^{10} {(k+2)\cdot 2^k} &=& 2\cdot 2^0 + & 3\cdot 2^1+ 4\cdot 2^2+ \dots + 11\cdot 2^9 + 12\cdot 2^{10} \\ 2\cdot S_{10} &=& & 2\cdot 2^1 + 3\cdot 2^2 + \dots + 10\cdot 2^{9}+ 11\cdot 2^{10} + 12\cdot 2^{11} \\ \hline S_{10} -2\cdot S_{10} &=& 2\cdot 2^0 & +2^1+2^2+2^3+\dots + 2^9+2^{10}-12\cdot2^{11} \\\\ && & 2^0+2^1+2^2+2^3+\dots + 2^9+2^{10} = 2^{11} - 1 \\ && & 2^1+2^2+2^3+\dots + 2^9+2^{10} = 2^{11} - 2 \\\\ S_{10} -2\cdot S_{10} &=& 2\cdot 2^0 & +2^{11} - 2 -12\cdot2^{11} \\ (1-2)\cdot S_{10} &=& 2\cdot 2^0 & +2^{11} - 2 -12\cdot2^{11} \\ - S_{10} &=& & 2^{11} -12\cdot2^{11} \\ - S_{10} &=& & -2^{11}\cdot ( 12-1) \\ S_{10} &=& & 2^{11}\cdot 11 \\ S_{10} &=& & 11\cdot 2^{11} \\ \hline \end{array} \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sum \limits_{k=0}^{10} {(k+2)\cdot 3 \cdot 2^k} \\ &=& 3\cdot S_{10} \\ &=& 3\cdot 11\cdot 2^{11} \\ &=& 33\cdot 2^{11} \\ &=& 67584 \\ \hline \end{array}\)

Find polynomial f(n) such that for all integers n>=1, we have 3(1*2+2*3+...+n(n+1))=f(n). Write f(n) as a polynomial with terms in descending order or n.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f(n) &=& 3\cdot[~ 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + 4\cdot 5 + \dots +n(n+1)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ 1\cdot (1+1) + 2\cdot (2+1) + 3\cdot (3+1) + 4\cdot (4+1) + \dots +n(n+1)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ (1^2+1) + (2^2+2) + (3^3+3) + (4^2+4) + \dots +(n^2+n)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ (1+2+3+4+ \dots +n) + (1^2+2^2+3^3+4^2 + \dots +n^2)~] \\\\ && (1+2+3+4+ \dots +n) = \frac{(1+n)\cdot n}{2}\\ && (1^2+2^2+3^3+4^2 + \dots +n^2)= \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} \\\\ f(n) &=& 3\cdot[~ \frac{(1+n)\cdot n}{2} + \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot[~ \frac{1}{2} + \frac{(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot[~ \frac{3}{6} + \frac{(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot( \frac{3+2n+1}{6} ) \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot( \frac{2n+4}{6} ) \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot 2\cdot( \frac{n+2}{6} ) \\ \mathbf{f(n) }&\mathbf{=} &\mathbf{ n \cdot (n+1)\cdot (n+2)} \\ \hline \end{array}\)

Find polynomial f(n) such that for all integers n>=1, we have 3(1*2+2*3+...+n(n+1))=f(n). Write f(n) as a polynomial with terms in descending order or n.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f(n) &=& n \cdot (n+1)\cdot (n+2) \\ \hline \end{array} \)

Unendliche Geometrische Reihe

\(\sum \limits_{i =0}^{\infty} { \dfrac { 1 }{ 2^i } } =\ ?\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \text{Unendliche Geometrische Reihe} \\ s &=& a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \dots \\ s &=& a_0 + a_0\cdot q + a_0\cdot q^2 + a_0\cdot q^3 + a_0\cdot q^4 + a_0\cdot q^5 + \dots \\ s &=& 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots \\ \hline \end{array} \)

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient q zweier benachbarter Folgenglieder konstant.
\(\begin{array}{|lcll|} \hline q = \frac{a_1}{a_0} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac12 \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|lcll|} \hline a_0 = 1 \\ \hline \end{array}\)

Die Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe:
\(\begin{array}{|lcll|} \hline s &=& \dfrac{a_0}{1-q} \qquad |q| < 1 \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|lcll|} \hline s &=& \dfrac{a_0}{1-q} \qquad q = \frac12 \qquad a_0 = 1 \\ s &=& \dfrac{1}{1-\frac12} \\ s &=& \dfrac{1}{\frac12} \\ \mathbf{s} & \mathbf{=} & \mathbf{2} \\ \hline \end{array}\)

The 4-digits numbers are 5352, 5114, 5818,..., have 2 common characteristics. First, they start with the digit 5. Second, exactly 2 digits in each numbers are identical. How many such numbers are there?

\(\small{ \begin{array}{|rrrrrrrrr|} \hline 1. \quad5001 & 55. \quad5131 & 109. \quad5262 & 163. \quad5405 & 217. \quad5520 & 271. \quad5597 & 325. \quad5744 & 379. \quad5875 & \\ 2. \quad5002 & 56. \quad5133 & 110. \quad5265 & 164. \quad5411 & 218. \quad5521 & 272. \quad5598 & 326. \quad5745 & 380. \quad5877 & \\ 3. \quad5003 & 57. \quad5135 & 111. \quad5266 & 165. \quad5414 & 219. \quad5523 & 273. \quad5600 & 327. \quad5747 & 381. \quad5878 & \\ 4. \quad5004 & 58. \quad5141 & 112. \quad5272 & 166. \quad5415 & 220. \quad5524 & 274. \quad5605 & 328. \quad5750 & 382. \quad5880 & \\ 5. \quad5006 & 59. \quad5144 & 113. \quad5275 & 167. \quad5422 & 221. \quad5526 & 275. \quad5606 & 329. \quad5751 & 383. \quad5881 & \\ 6. \quad5007 & 60. \quad5145 & 114. \quad5277 & 168. \quad5424 & 222. \quad5527 & 276. \quad5611 & 330. \quad5752 & 384. \quad5882 & \\ 7. \quad5008 & 61. \quad5150 & 115. \quad5282 & 169. \quad5425 & 223. \quad5528 & 277. \quad5615 & 331. \quad5753 & 385. \quad5883 & \\ 8. \quad5009 & 62. \quad5152 & 116. \quad5285 & 170. \quad5433 & 224. \quad5529 & 278. \quad5616 & 332. \quad5754 & 386. \quad5884 & \\ 9. \quad5010 & 63. \quad5153 & 117. \quad5288 & 171. \quad5434 & 225. \quad5530 & 279. \quad5622 & 333. \quad5756 & 387. \quad5886 & \\ 10. \quad5011 & 64. \quad5154 & 118. \quad5292 & 172. \quad5435 & 226. \quad5531 & 280. \quad5625 & 334. \quad5758 & 388. \quad5887 & \\ 11. \quad5015 & 65. \quad5156 & 119. \quad5295 & 173. \quad5440 & 227. \quad5532 & 281. \quad5626 & 335. \quad5759 & 389. \quad5889 & \\ 12. \quad5020 & 66. \quad5157 & 120. \quad5299 & 174. \quad5441 & 228. \quad5534 & 282. \quad5633 & 336. \quad5765 & 390. \quad5895 & \\ 13. \quad5022 & 67. \quad5158 & 121. \quad5300 & 175. \quad5442 & 229. \quad5536 & 283. \quad5635 & 337. \quad5766 & 391. \quad5898 & \\ 14. \quad5025 & 68. \quad5159 & 122. \quad5303 & 176. \quad5443 & 230. \quad5537 & 284. \quad5636 & 338. \quad5767 & 392. \quad5899 & \\ 15. \quad5030 & 69. \quad5161 & 123. \quad5305 & 177. \quad5446 & 231. \quad5538 & 285. \quad5644 & 339. \quad5770 & 393. \quad5900 & \\ 16. \quad5033 & 70. \quad5165 & 124. \quad5311 & 178. \quad5447 & 232. \quad5539 & 286. \quad5645 & 340. \quad5771 & 394. \quad5905 & \\ 17. \quad5035 & 71. \quad5166 & 125. \quad5313 & 179. \quad5448 & 233. \quad5540 & 287. \quad5646 & 341. \quad5772 & 395. \quad5909 & \\ 18. \quad5040 & 72. \quad5171 & 126. \quad5315 & 180. \quad5449 & 234. \quad5541 & 288. \quad5650 & 342. \quad5773 & 396. \quad5911 & \\ 19. \quad5044 & 73. \quad5175 & 127. \quad5322 & 181. \quad5450 & 235. \quad5542 & 289. \quad5651 & 343. \quad5774 & 397. \quad5915 & \\ 20. \quad5045 & 74. \quad5177 & 128. \quad5323 & 182. \quad5451 & 236. \quad5543 & 290. \quad5652 & 344. \quad5776 & 398. \quad5919 & \\ 21. \quad5051 & 75. \quad5181 & 129. \quad5325 & 183. \quad5452 & 237. \quad5546 & 291. \quad5653 & 345. \quad5778 & 399. \quad5922 & \\ 22. \quad5052 & 76. \quad5185 & 130. \quad5330 & 184. \quad5453 & 238. \quad5547 & 292. \quad5654 & 346. \quad5779 & 400. \quad5925 & \\ 23. \quad5053 & 77. \quad5188 & 131. \quad5331 & 185. \quad5456 & 239. \quad5548 & 293. \quad5657 & 347. \quad5785 & 401. \quad5929 & \\ 24. \quad5054 & 78. \quad5191 & 132. \quad5332 & 186. \quad5457 & 240. \quad5549 & 294. \quad5658 & 348. \quad5787 & 402. \quad5933 & \\ 25. \quad5056 & 79. \quad5195 & 133. \quad5334 & 187. \quad5458 & 241. \quad5560 & 295. \quad5659 & 349. \quad5788 & 403. \quad5935 & \\ 26. \quad5057 & 80. \quad5199 & 134. \quad5336 & 188. \quad5459 & 242. \quad5561 & 296. \quad5660 & 350. \quad5795 & 404. \quad5939 & \\ 27. \quad5058 & 81. \quad5200 & 135. \quad5337 & 189. \quad5464 & 243. \quad5562 & 297. \quad5661 & 351. \quad5797 & 405. \quad5944 & \\ 28. \quad5059 & 82. \quad5202 & 136. \quad5338 & 190. \quad5465 & 244. \quad5563 & 298. \quad5662 & 352. \quad5799 & 406. \quad5945 & \\ 29. \quad5060 & 83. \quad5205 & 137. \quad5339 & 191. \quad5466 & 245. \quad5564 & 299. \quad5663 & 353. \quad5800 & 407. \quad5949 & \\ 30. \quad5065 & 84. \quad5211 & 138. \quad5343 & 192. \quad5474 & 246. \quad5567 & 300. \quad5664 & 354. \quad5805 & 408. \quad5950 & \\ 31. \quad5066 & 85. \quad5212 & 139. \quad5344 & 193. \quad5475 & 247. \quad5568 & 301. \quad5667 & 355. \quad5808 & 409. \quad5951 & \\ 32. \quad5070 & 86. \quad5215 & 140. \quad5345 & 194. \quad5477 & 248. \quad5569 & 302. \quad5668 & 356. \quad5811 & 410. \quad5952 & \\ 33. \quad5075 & 87. \quad5220 & 141. \quad5350 & 195. \quad5484 & 249. \quad5570 & 303. \quad5669 & 357. \quad5815 & 411. \quad5953 & \\ 34. \quad5077 & 88. \quad5221 & 142. \quad5351 & 196. \quad5485 & 250. \quad5571 & 304. \quad5675 & 358. \quad5818 & 412. \quad5954 & \\ 35. \quad5080 & 89. \quad5223 & 143. \quad5352 & 197. \quad5488 & 251. \quad5572 & 305. \quad5676 & 359. \quad5822 & 413. \quad5956 & \\ 36. \quad5085 & 90. \quad5224 & 144. \quad5354 & 198. \quad5494 & 252. \quad5573 & 306. \quad5677 & 360. \quad5825 & 414. \quad5957 & \\ 37. \quad5088 & 91. \quad5226 & 145. \quad5356 & 199. \quad5495 & 253. \quad5574 & 307. \quad5685 & 361. \quad5828 & 415. \quad5958 & \\ 38. \quad5090 & 92. \quad5227 & 146. \quad5357 & 200. \quad5499 & 254. \quad5576 & 308. \quad5686 & 362. \quad5833 & 416. \quad5965 & \\ 39. \quad5095 & 93. \quad5228 & 147. \quad5358 & 201. \quad5501 & 255. \quad5578 & 309. \quad5688 & 363. \quad5835 & 417. \quad5966 & \\ 40. \quad5099 & 94. \quad5229 & 148. \quad5359 & 202. \quad5502 & 256. \quad5579 & 310. \quad5695 & 364. \quad5838 & 418. \quad5969 & \\ 41. \quad5100 & 95. \quad5232 & 149. \quad5363 & 203. \quad5503 & 257. \quad5580 & 311. \quad5696 & 365. \quad5844 & 419. \quad5975 & \\ 42. \quad5101 & 96. \quad5233 & 150. \quad5365 & 204. \quad5504 & 258. \quad5581 & 312. \quad5699 & 366. \quad5845 & 420. \quad5977 & \\ 43. \quad5105 & 97. \quad5235 & 151. \quad5366 & 205. \quad5506 & 259. \quad5582 & 313. \quad5700 & 367. \quad5848 & 421. \quad5979 & \\ 44. \quad5110 & 98. \quad5242 & 152. \quad5373 & 206. \quad5507 & 260. \quad5583 & 314. \quad5705 & 368. \quad5850 & 422. \quad5985 & \\ 45. \quad5112 & 99. \quad5244 & 153. \quad5375 & 207. \quad5508 & 261. \quad5584 & 315. \quad5707 & 369. \quad5851 & 423. \quad5988 & \\ 46. \quad5113 & 100. \quad5245 & 154. \quad5377 & 208. \quad5509 & 262. \quad5586 & 316. \quad5711 & 370. \quad5852 & 424. \quad5989 & \\ 47. \quad5114 & 101. \quad5250 & 155. \quad5383 & 209. \quad5510 & 263. \quad5587 & 317. \quad5715 & 371. \quad5853 & 425. \quad5990 & \\ 48. \quad5116 & 102. \quad5251 & 156. \quad5385 & 210. \quad5512 & 264. \quad5589 & 318. \quad5717 & 372. \quad5854 & 426. \quad5991 & \\ 49. \quad5117 & 103. \quad5253 & 157. \quad5388 & 211. \quad5513 & 265. \quad5590 & 319. \quad5722 & 373. \quad5856 & 427. \quad5992 & \\ 50. \quad5118 & 104. \quad5254 & 158. \quad5393 & 212. \quad5514 & 266. \quad5591 & 320. \quad5725 & 374. \quad5857 & 428. \quad5993 & \\ 51. \quad5119 & 105. \quad5256 & 159. \quad5395 & 213. \quad5516 & 267. \quad5592 & 321. \quad5727 & 375. \quad5859 & 429. \quad5994 & \\ 52. \quad5121 & 106. \quad5257 & 160. \quad5399 & 214. \quad5517 & 268. \quad5593 & 322. \quad5733 & 376. \quad5865 & 430. \quad5996 & \\ 53. \quad5122 & 107. \quad5258 & 161. \quad5400 & 215. \quad5518 & 269. \quad5594 & 323. \quad5735 & 377. \quad5866 & 431. \quad5997 & \\ 54. \quad5125 & 108. \quad5259 & 162. \quad5404 & 216. \quad5519 & 270. \quad5596 & 324. \quad5737 & 378. \quad5868 & 432. \quad5998 & \\ \hline \end{array} }\)

There are 432 such numbers

Note that 1111111=10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1

and 909091=10^6-10^5+10^4-10^3+10^2-10+1.

Compute the product of these two integers.

without mistakes:

geometric series:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a_n &=& a_1 \cdot r^{n-1} \\ s_n &=& a_1 \left( \frac{-1+r^n}{r-1} \right) \qquad \text{sum}\\ \hline \end{array}\)

geometric series 1:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1 \qquad | \qquad a_1 = 1 \qquad r = 10 \\\\ s_n &=& a_1 \left( \frac{-1+r^n}{r-1} \right) \\ s_n &=& -a_1 \left( \frac{-1+r^n}{1-r} \right) \\ s_n &=& -1\cdot \left( \frac{-1+10^n}{1-10} \right) \\ s_7 &=& -1\cdot \left( \frac{-1+10^7}{1-10} \right) \\ s_7 &=& -\left( \frac{-1+10^7}{1-10} \right) \\ \hline \end{array}\)

geometric series 2:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 10^6-10^5+10^4-10^3+10^2-10+1 \qquad | \qquad a_1 = 1 \qquad r = -10 \\\\ S_n &=& a_1 \left( \frac{-1+r^n}{r-1} \right) \\ S_n &=& -a_1 \left( \frac{-1+r^n}{1-r} \right) \\ S_n &=& -1\cdot \left( \frac{-1+(-10)^n}{1-(-10)} \right) \\ S_7 &=& -1\cdot \left( \frac{-1+(-10)^7}{1+10} \right) \\ S_7 &=& -\left( \frac{-1-10^7}{1+10} \right) \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 1111111 \cdot 909091 \\ &=& (10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1) \cdot (10^6-10^5+10^4-10^3+10^2-10+1) \\ &=& s_7 \cdot S_7 \\ &=& -\left( \frac{-1+10^7}{1-10} \right) \cdot [-\left( \frac{-1-10^7}{1+10} \right)] \\ &=& \left[ \frac{(-1)^2-(10^7)^2}{1^2-(10)^2} \right] \\ &=& \frac{1-10^{14}}{1-10^2} \\ &=& \frac{10^{14}-1}{10^2-1} \\ &=& \frac{99999999999999}{99} \\ &=& 10101010101010 \\ \hline \end{array}\)

see:

Evaluate

\( \frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{9}{8}+\frac{17}{16}+\frac{33}{32}+\frac{65}{64}-7\).

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{9}{8}+\frac{17}{16}+\frac{33}{32}+\frac{65}{64}-7 \\ &=& \frac{2+1}{2}+\frac{4+1}{4}+\frac{8+1}{8}+\frac{16+1}{16}+\frac{32+1}{32}+\frac{64+1}{64}-7 \\ &=& \frac{2}{2}+ \frac{1}{2}+ \frac{4}{4} + \frac{1}{4}+ \frac{8}{8} + \frac{1}{8}+ \frac{16}{16} \frac{1}{16}+ \frac{32}{32}+ \frac{1}{32}+ \frac{64}{64} + \frac{1}{64}-7 \\ &=& 1+ \frac{1}{2}+ 1 + \frac{1}{4}+ 1 + \frac{1}{8}+ 1 + \frac{1}{16}+ 1+ \frac{1}{32}+ 1 + \frac{1}{64}-7 \\ &=& \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+6-7 \\ &=& \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \frac{1}{64} -1 \\ &=& \frac{32}{64}+ \frac{16}{64}+ \frac{8}{64}+ \frac{4}{64}+\frac{2}{64}+ \frac{1}{64} -1 \\ &=& \frac{1+2+4+8+16+32}{64} -1 \\ &=& \frac{64-1}{64} -1 \\ &=& \frac{64}{64} - \frac{1}{64} -1 \\ &=& 1 - \frac{1}{64} -1 \\ &=& - \frac{1}{64}\\ \hline \end{array}\)