heureka

what is a prime number between 21 and 29

Prime Numbers between 1 and 100 are:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 ...

Between 21 and 29 is the prime number 23

what is 0.0045 in scientific notation ?

\( 0.0045 = 4.5 \cdot 10^{-3}\)

On a map, the scale shows that 1 4 cm is equivalent to 20 km. The distance between two cities on the map is 5.5 cm. What is the actual distance between the cities?

\(5.5\ \text{cm} \cdot \left( \frac{20\ \text{km}}{1.4\ \text{cm}} \right) =\frac{ 5.5 } {1.4}\cdot 20\ \text{km} =78.571\ \text{km}\)

what is 40 in exponential form

\(\begin{array}{rcl} 40^1 &=& e^x \qquad | \qquad \ln{()}\\ \ln{(40^1)}&=& \ln{(e^x)}\\ 1\cdot \ln{(40)}&=& x \cdot \ln{(e)} \qquad | \qquad \ln{(e)} = 1\\ \mathbf{ \ln{(40)} }& \mathbf{=}& \mathbf{x} \\ 40^1 &=& e^{ \ln{(40)}}\\ \mathbf{ 40^1 }&\mathbf{ = }& \mathbf{ e^{ 3.68887945411 } }\\ \end{array}\)

what is the square root of pi

\(\sqrt{\pi} = \Gamma{ \left( \frac12 \right) }\)

what is 1.6666666666666667 in fraction form

\(\begin{array}{rclcl} 100 & \times & 1.66\overline{6} &=& 166.\overline{6}\\ -1 & \times & 1.\overline{6} &=& 1.\overline{6} \\ \hline 99 & \times & 1.\overline{6} &=& 165\\ 1.\overline{6} &=& \frac{165}{99} \\ &=& \frac{55}{33} \\ &=& \frac{5}{3} \\ \end{array}\)

\(\text{Beim Rechnen mit Wurzeln ist größte Vorsicht angebracht,} \\ \text{da die bekannten Rechenregeln für nichtnegative reelle Zahlen hier nicht gelten.}\\ \text{Egal, welchen der beiden möglichen Werte } i\text{ oder } − i \text{ man für } \sqrt{-1} \text{ festlegt, erhält man z. B. }\\ 1 = \sqrt 1 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \ne \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1.\\\\ \)

\(\text{Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl }z = r\cdot e^{i\varphi}\\ \text{dient die Formel } \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}n},\\ \text{wobei } k \text{ die Werte } 0, 1, \ldots, n-1 \text{ durchläuft. }\\ \text{Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in C mehrdeutig. }\)

kann mir wer erklären warum i^2=-1,ist das ein axiom oder wieso ist das so

\( \begin{array}{lrl} \sqrt{-1} &=& i \\ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} &=& i \cdot i\\ \sqrt{(-1)}^2 &=& i^2\\ (-1) ^{ \frac{2}{2} }&=& i^2\\ (-1) ^{1}&=& i^2\\ -1 &=& i^2 \end{array} \)

2/3x+4y=-1
1/2x-3y=-9/4

\( \begin{array}{lrcrcrl} (1) & \frac23x &+& 4y &=& -1 \\ (2) & \frac12x &-& 3y &=& -\frac94 \\ \\ \hline \\ (1) & \frac23x &+& 4y &=& -1 \qquad &|\qquad \cdot 3\\ (2) & \frac12x &-& 3y &=& -\frac94 \qquad &|\qquad \cdot 4\\ \\ \hline \\ (1) & 2x &+& 12y &=& -3 \\ (2) & 2x &-& 12y &=& -9 \\ \\ \hline \\ (1)+(2) & 2x+ 2x &+& 12y- 12y &=& -3-9 \\ & 4x && &=& -12 \qquad &|\qquad :4\\ & x && &=& -\frac{12}{4} \\ & \mathbf{x} && & \mathbf{=}& \mathbf{-3} \\ \\ \hline \\ (1) & 2x &+& 12y &=& -3 \\ & 2\cdot(-3) &+& 12y &=& -3 \\ & -6 &+& 12y &=& -3 \qquad &|\qquad +6\\ & & & 12y &=& -3 +6\\ & & & 12y &=& 3\qquad &|\qquad :12\\ & & & y &=& \frac{3}{12}\\ & & & y &=& \frac{1}{4}\\ & & & \mathbf{y}&\mathbf{=}& \mathbf{ 0.25 }\\ \end{array}\)

How do you solve this problem?

Are the lines perpendicular?

7y =9x+21

-3y=x-24

They are not perpendicular because:

Line 1:

\(7y =9x+21\\ y =\frac98 x+3 \qquad \text{ The slope is :} \quad m_1 = \frac98\)

Line 2:

\(-3y=x-24\\ y =-\frac{1}{3} x+8 \qquad \text{ The slope is :} \quad m_2 = -\frac{1}{3} \)

perpendicular: \(\boxed{~ m_1\cdot m_2 = -1 ~ }\)

\(\begin{array}{lcl} m_1\cdot m_2 &=& \frac98 \cdot (-\frac{1}{3})\\ m_1\cdot m_2 &=& -\frac{9}{8 \cdot3 }\\ m_1\cdot m_2 &=& -\frac{9}{24}\\ m_1\cdot m_2 &=& -\frac{3}{8}\\ m_1\cdot m_2 &=& -0.375 \qquad -0.375\ne -1 \quad \Rightarrow \quad \text{not perpendicular}\\ \end{array}\)