heureka

Eine GRF 3. Grades geht durch P(6|4)und hat eine Nullstelle bei x=4. Die Steigung der Tangente in dieser Nullstelle beträgt -1. Die Kurve schneidet die y-Achse bei 4.

$$\small{\text{$ \begin{array}{lrcl} \rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&y&=&ax^3+bx^2+cx+d\\\\ \hline&\\ (1)~y(6)=4:&y(6)=4&=& 6^3a+6^2b+6c+d\\\\ (2)~y(4)=0:&y(4)=0&=& 4^3a+4^2b+4c+d\\\\ (3)~y'(4)=-1:&y'(x)&=& 3ax^2+2bx+c\\\\ &y'(4)=-1&=& 3a4^2+2b4+c\\\\ (4)~y(0)=4:&y(0)=4&=& 0a+0b+0c+d\\\\ & \mathbf{d}&\mathbf{=}& \mathbf{4}\\\\ \hline &\\ (1): &6^3a+6^2b+6c+4 &=& 4\\\\ (2): &4^3a+4^2b+4c+4 &=& 0\\\\ (3): &3a4^2+2b4+c &=& -1\\\\ \hline &\\ (1):& 216a+36b+6c &=& 0 \\\\ (2):& 64a+16b+4c &=& -4 \\\\ (3):& 48a+ 8b+1c &=& -1 \\\\ \hline &\\ \rm{Nenner~Determinante~~} D= \begin{vmatrix} 216 & 36 & 6 \\64 & 16 & 4 \\48 & 8 & 1\end{vmatrix} = -384&\\ a = \frac{ \begin{vmatrix} 0 & 36 & 6 \\-4 & 16 & 4 \\-1 & 8 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-96}{-384}=0,25 \\&\\ b = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 0 & 6 \\64 & -4 & 4 \\48 & -1 & 1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{768}{-384}=-2 \\&\\ c = \frac{ \begin{vmatrix} 216 & 36 & 0 \\64 & 16 & -4 \\48 & 8 & -1\end{vmatrix} }{D}= \dfrac{-1152}{-384}=3 \\&\\\\ \hline&\\ \rm{GRF~3.~ ~Grades ~~}&\mathbf{y}&\mathbf{=}&\mathbf{0,25x^3-2x^2+3x+4}\\\\ \hline&\\ \end{array}$}}$$

Herr A steigt im 16. Stockwerk ein und fährt in das 4. Kellergeschoss. wie viele Stockwerke hat er überwunden ?

$$\small{\text{$ \begin{array}{lrrr} \rm{Stockwerk~} & 16. & &\rm{Etage}\\ & & & 1\\ &15.\\ & & & 2\\ &14. \\ & & & 3\\ &13. &&\\ & & & 4\\ &12. &&\\ & & & 5\\ &11. &&\\ & & & 6\\ &10. &&\\ & & & 7\\ &9. &&\\ & & & 8\\ &8. &&\\ & & & 9\\ &7. &&\\ & & & 10\\ &6. &&\\ & & & 11\\ &5. &&\\ & & & 12\\ &4. &&\\ & & & 13\\ &3. &&\\ & & & 14\\ &2. &&\\ & & & 15\\ &1. &&\\ & & & 16\\ EG & 0. &&\\ & & & 17\\ \rm{Keller~} & -1. &&\\ & & & 18\\ & -2. &&\\ & & & 19\\ & -3.\\ & & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{20}\\ & -4.\\ \end{array} $}}$$

Er hat 20 Stockwerke überwunden .

Wie viel sind 20% von 193,7376 ?

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} \mathbf{ 20\%\ \rm{~von~} \mathbf{ 193,7376 } } \\ &=&193,7376 \cdot \dfrac{20}{100}\\\\ &=&193,7376 \cdot \dfrac{2}{10} \\\\ &=&19,37376 \cdot 2 \\\\ &=&\mathbf{38,74752} \end{array} $}}$$

25 squared + 15.71 squared = ?

$$\small{\text{$ \mathbf{ 25^2+15.71^2 = 871.8041 } $}}$$

429€ + 20% + 19% MwSt.

$$\small{\text{$ \begin{array}{rcl} 429 \rm{~Euro~} + 20\% + 19\%\rm{~ MwSt.}\\\\ &=&429\cdot \left( 1+\dfrac{20}{100} \right) \cdot \left(1+ \dfrac{19}{100} \right)\\\\ &=&429\cdot 1,20 \cdot 1,19\\\\ &=& 612,612\rm{~Euro~} \end{array} $}}$$

4x+y=5 ;x+y=1 ?????      aking first-degree equations with two unknowns ?

$$\small{\text{$ \begin{array}{lccrcl} (1)&:& & 4x + y &=& 5 \\ (2)&:& & x + y &=& 1 \\ \hline &\\ (1) - (2)&:& & 4x - x + y - y &=& 5-1\\ & & & 3x &=& 4 \qquad |\qquad : 3\\ & & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{x} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{ \frac{4}{3} }\\ \hline &\\ (2)&:& & x + y &=& 1 \\ & & & \frac{4}{3} +y &=& 1 \qquad |\qquad -\frac{4}{3}\\ & & & y &=& 1 -\frac{4}{3} \\ & & & \textcolor[rgb]{1,0,0}{y} &\textcolor[rgb]{1,0,0}{=}& \textcolor[rgb]{1,0,0}{-\frac{1}{3}} \\ \end{array} $}}$$

Warum gibt Minus mal Minus Plus

Wollen wir annehmen, dass gilt:

  $$\small{\text{$(-1)\cdot (-1) = -1 $}}$$ .

Teilen wir nun durch (-1), so erhalten wir:

$$\small{\text{$ \dfrac{ (-1)\cdot (-1) } {(-1)} = \dfrac{ -1 } {(-1)} $}}$$

oder

  $$-1 = +1$$ .

In unserem Zahlbereich ist aber  $$\small{\text{$-1 \rm{~ungleich~} 1$}}$$ ,  daher war unsere Voraussetzung falsch.

Out of 100 people selected for a school survey, 59 were junior students, 3 were teachers and the rest were senior students. Write the following ratios.

Teachers : juniors

Juniors : seniors

Seniors : teachers

Teachers : students

Juniors : other members

of the survey

$$\small{\text{$ \begin{array}{lcr} \rm{Junior ~students}&=&59\\ \rm{Teachers}&=&3\\ \rm{Senior ~students}=100-59-3&=&38\\\\ \rm{Teachers : Juniors} &=& \dfrac{3}{59} = 0.05084745763\\\\ \rm{Juniors : seniors } &=& \dfrac{59}{38} = 1.55263157895\\\\ \rm{Seniors : teachers } &=& \dfrac{38}{3} = 12.\overline{6}\\\\ \rm{Teachers : students } &=& \dfrac{3}{100-3} = \dfrac{3}{97} = 0.03092783505\\\\ \rm{Juniors : other ~members } &=& \dfrac{59}{100-59} = \dfrac{59}{41}= 1.43902439024 \end{array} $}}$$

- (-189-125) + 11=

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{-} \textcolor[rgb]{0,0,1}{(}-189-125\textcolor[rgb]{0,0,1}{)} + 11 \qquad | \qquad \rm{ausklammern}\\ =\textcolor[rgb]{1,0,0}{-} \textcolor[rgb]{0,0,1}{(}-189\textcolor[rgb]{0,0,1}{)} \textcolor[rgb]{1,0,0}{-}\textcolor[rgb]{0,0,1}{(}-125\textcolor[rgb]{0,0,1}{)} +11 \qquad | \qquad (\textcolor[rgb]{1,0,0}{-} )\cdot(-) = (+)\\ = +189+125+11\\ = 325$$

How to find the angle of a right angle triangle using trigonometry