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Zeigen Sie mittels Induktion, dass für Zahlen a, b element von R>=0 und N  die Ungleichung

 

(a+b)n>=an+bn

 

gilt.

 05.01.2020
bearbeitet von supeedd  05.01.2020
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Etwas spät, aber hier kommt noch deine Antwort:

Zunächst der Induktionsanfang: Für n=1 wird deine Ungleichung zu (a+b)a+b, was offenbar stimmt.

 

Sei die Aussage nun wahr für die ersten n natürlichen Zahlen, es gilt also (*): (a+b)nan+bn.

 

Dann folgt 

(a+b)n+1=(a+b)(a+b)n(a+b)(an+bn)=an+1+abn+ban+bn+1an+1+bn+1

 

Dabei habe ich für die erste Ungleichheit die Induktionsvoraussetzung (*) benutzt, in der zweiten Ungleichheit geht ein, dass a&b größergleich 0 sind.

Das beweist die Aussage.

 

Übrigens: Induktion ist hier gar nicht notwendig, man könnte die Aussage auch durch auflösen der Klammer zeigen:

 

(a+b)n=nk=0(nk)akbnk=an+bn+n1k=1(nk)akbnkan+bn

 

Wobei die Ungleichheit wieder folgt, weil a&b größergleich 0 sind.

 13.06.2020

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