Etwas spät, aber hier kommt noch deine Antwort:
Zunächst der Induktionsanfang: Für n=1 wird deine Ungleichung zu (a+b)≥a+b, was offenbar stimmt.
Sei die Aussage nun wahr für die ersten n natürlichen Zahlen, es gilt also (*): (a+b)n≥an+bn.
Dann folgt
(a+b)n+1=(a+b)⋅(a+b)n≥(a+b)⋅(an+bn)=an+1+a⋅bn+b⋅an+bn+1≥an+1+bn+1
Dabei habe ich für die erste Ungleichheit die Induktionsvoraussetzung (*) benutzt, in der zweiten Ungleichheit geht ein, dass a&b größergleich 0 sind.
Das beweist die Aussage.
Übrigens: Induktion ist hier gar nicht notwendig, man könnte die Aussage auch durch auflösen der Klammer zeigen:
(a+b)n=∑nk=0(nk)⋅ak⋅bn−k=an+bn+∑n−1k=1(nk)⋅ak⋅bn−k≥an+bn
Wobei die Ungleichheit wieder folgt, weil a&b größergleich 0 sind.