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Zeigen Sie mittels Induktion, dass für Zahlen a, b element von \({R}_{>=0}\) und \(N\)  die Ungleichung

 

\({(a+b)}^{n} >= {a}^{n}+{b}^{n}\)

 

gilt.

 05.01.2020
bearbeitet von supeedd  05.01.2020
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Etwas spät, aber hier kommt noch deine Antwort:

Zunächst der Induktionsanfang: Für n=1 wird deine Ungleichung zu \((a+b) \geq a + b\), was offenbar stimmt.

 

Sei die Aussage nun wahr für die ersten n natürlichen Zahlen, es gilt also (*): \((a+b)^n \geq a^n +b^n .\)

 

Dann folgt 

\((a+b)^{n+1} = (a+b) \cdot (a+b)^{n} \geq (a+b) \cdot (a^n + b^n) = a^{n+1} + a \cdot b^n + b \cdot a^n + b^{n+1} \geq a^{n+1} + b^{n+1}\)

 

Dabei habe ich für die erste Ungleichheit die Induktionsvoraussetzung (*) benutzt, in der zweiten Ungleichheit geht ein, dass a&b größergleich 0 sind.

Das beweist die Aussage.

 

Übrigens: Induktion ist hier gar nicht notwendig, man könnte die Aussage auch durch auflösen der Klammer zeigen:

 

\((a+b)^{n} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} =a^n + b^n +\sum_{k=1}^{n-1} {n\choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} \geq a^n + b^n\)

 

Wobei die Ungleichheit wieder folgt, weil a&b größergleich 0 sind.

 13.06.2020

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