+14633 Wird eine Zahl zu sich selbst addiert oder mit sich selbst multipliziert oder mit sich selbst potenziert, so sind die Ergebnisse gleich.
Welche Zahl ist oder welche Zahlen sind das?
Gesucht ist die Lösungsmenge.
Die Aussage lässt sich übersetzen in die drei Gleichungen:
x+x = y
x^2 = y
x^x = y
wobei x,y erstmal unbekannt sind. Jetzt schaue mal die zwei letzten Gleichungen an. Daraus folgt: x^2 = x^x. Beim ersten Anschauen denkt man: sieht aus als würde x=2 folgen. Nachrechnen durch log nehmen auf beiden Seiten:
log(x^2) = log(x^x)
=> 2 log(x) = x*log(x)
Da für alle reellen Zahlen x gilt log(x) ungleich 0 darf die Gleichung durch log(x) geteilt werden.
Daraus folgt x=2. Die erste Intuition war also richtig :)
Damit folgt auch y = 2^2 = 4.
Nun muss man noch prüfen, ob x=2 eine Lösung der ersten Gleichung ist. x+x=y übersetzt sich in 2+2=4. Also korrekt.
Die Lösungsmenge ist also x=2. Zur Übung kannst Du ja mal probieren, wie die Aufgabe gerechnet wird, wenn du die Lösung analog anfängst aber mit den ersten beiden Gleichungen statt den letzten beiden. Am Ende wird natürlich x=2 als Lösungsmenge stehen, aber der Lösungsweg verändert sich ein klein wenig.
+14633 Wird eine Zahl zu sich selbst addiert oder mit sich selbst multipliziert oder mit sich selbst potenziert, so sind die Ergebnisse gleich.
Welche Zahl ist oder welche Zahlen sind das?
Gesucht ist die Lösungsmenge.
\(\mathbb L=\{x|x\in\mathbb{R}\}\)
\(x + x = x \cdot x = x^x\)
\(x+x =x\cdot x\\ 2x=x^2\\ x^2-2x=0\\ x\cdot (x-2)=0\\ x_1-2=0\\ \color{blue}x_1=2 \)
\(x_2=0\ ?\\ x_2\cdot x_2=x_2^{\ x_2}\\ 0\cdot 0=0^0 \\ 0^0 \to\ ist\ nicht\ definiert\\ \color{blue}x_2\neq0\)
\(\mathbb L=\{ 2\}\)
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