Wir betrachten die durch die Gleichung
\(\int_a (x) = x^2 - 2ax + 5a^2 - 12a\)
gegebene Funktionschar mit reellem Parameter \(a\).
a) Bestimmen Sie alle diejenigen Werte für \(a\), für welche die Funktion \(\int_a (x)\) genau zwei verschiedene Nullstellen hat.
b) Bestimmen Sie unter allen Werten für \(a\), für welche die Funktion \( \int_a (x)\) genau zwei verschiedene Nullstellen hat, diejenigen, für welche der Abstand dieser Nullstellen maximal ist.
+3976 Die Lösung dieser Aufgabe kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel finden (Lösungen von Ax2+Bx+B=0 mit \(x = {-B \pm \sqrt{B^2-4AC} \over 2A}\). Die Anzahl der Nullstellen hängt nämlich vom Term unter der Wurzel (der "Diskriminante") ab. Ist er positiv, dann sind's zwei Nullstellen. Zu lösen ist also die Ungleichung B2-4AC>0 mit den Parametern aus deiner Funktion, also A=1, B=-2a und C=5a2-12a. Löse dafür zunächst die Gleichung B2-4AC=0 und folgere daraus die Lösungmenge der Ungleichung.
Zur b): Die Nullstellen sind so weit wie möglich auseinander, wenn die Diskriminante B2-4AC so groß wie möglich ist.
