Bei einem Tennisspiel zwischen Thomas und Fabian gewinnt Fabian mit einer Wahrscheinlichkeit von 65%.
A) Ein Satz beim Tennis wird so gespielt, dass der Sieger 2 Spiele mehr gewinnen muss als sein Gegner. Das Spiel wird solange gespielt, bis jemand 6 Spiele gewonnen hat. Es werden also maximal 10 Spiele gespielt. Steht es danach Unentschieden, werden weitere 2 Spiele gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian einen Satz gewinnt.
+3976 Dieses Experiment erfüllt die Definition eines Bernoulli-Experiments, weshalb mit den Formeln zur Binomialverteilung gerechnet werden kann.
Fabian gewinnt, wenn er in den ersten 10 Spielen mindestens 6 gewinnt. Steht es 5-5, so gewinnt Fabian auch, wenn er dann die beiden folgenden Sätze gewinnt.
Daraus ergibt sich folgender Term für die Wahrscheinlichkeit:
\(P("Fabian \ gewinnt") = P^{10}_{0,65}(X\geq 6) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2\)
Dabei ist der erste Summand die Wahrscheinlichkeit für 6 Siege in den ersten 10 Spielen, der zweite Summand ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es nach 10 Spielen unentschieden steht und Fabian die beiden Spiele danach gewinnt. (Grobe Merkregel: "und" entspricht in der Formel "Mal", "oder" entspricht dem "Plus".)
Die Wahrscheinlichkeit kann nun mit Hilfe des Tafelwerks berechnet werden:
\(P("Fabian \ gewinnt") = P^{10}_{0,65}(X\geq 6) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2 \\ = 1-P^{10}_{0,65}(X\leq 5) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2 \ \ |Tafelwerk \\ = 1-0,249 + 0,154 \cdot 0,65^2 \ \ |Taschenrechner \\ = 0,816 = 81\%\)
Ich hoffe, das ist so verständlich. Falls was unklar ist meld' dich ruhig nochmal.
